Обсуждение:Геометрия Лобачевского

Исправил странную подпись к рисунку "Пучок параллельных прямых в геометрии Лобачевского" на нейтральную "Угол параллельности" 83.239.150.241 16:41, 15 апреля 2011 (UTC) VAL

Плоскость понятно, а пространство?

Везде на картинках и в рассуждениях вынужденно рисуется и обсуждается замена двумерной плоскости на двумерную поверхность того или иного объёмного тела. Сплошная планиметрия. А что при этом происходит с трёхмерным пространством, содержащим и состоящим из таких плоскостей? Какова стереометрия в геометрии Лобачевского? --Nashev 17:37, 7 марта 2013 (UTC)

на двумерную поверхность того или иного объёмного тела Ну для начала статья по Геометрии Лобачевского, а в евклидовом пространстве не существует поверхности, на которой бы реализовывалась плоскость Лобачевского. Псевдосфера реализует только небольшой кусок плоскости Лобачевского. Но в трёхмерном пространстве Лобачевского и в пространствах бОльшей размерности всё тоже самое, только угол параллелизма проявляется в любом направлении пространства. Дальше рассматриваются плоскости, их взаимное расположение. Расположение плоскостей может быть трёх типов: пересекающиеся, параллельные, расходящиеся. И т.д., это целый курс лекций надо слушать. Чтобы немного мысленно, образно пощупать трёхмерное пространство Лобачевского, можно представить себе правильный многогранник, для простоты всем известный куб. Дальше представляем, что из куба выкачали воздух и атмосферное давление вдавило немного грани этого куба внутрь. При этом получилось, что двухгранные углы в рёбрах куба, оказались меньше чем 90 градусов, как в привычном евклидовом пространстве. При этом, если кубик малюсенький, то эти двухгранные углы почти евклидовы, почти 90 градусов. Но давайте мысленно будем увеличивать длину ребра такого куба в лобачевском, он будет всё время расти в размерах и при этом, двухгранный угол у него будет становиться всё меньше и меньше и в конце концов станет равным нулю. В этот момент, все его грани станут параллельными плоскостями. При этом рёбра куба исчезнут в бесконечности, а вершины исчезнут ещё раньше. Можно его и дальше раздувать, но это уже как-то не очень интересно, вместо рёбер вообще останутся дырки, что уже как-то плохо соотносится с нашими представлениями о многогранниках. Повторим эксперимент, возьмём маленький кубик и начнём его опять раздувать, но уже не спеша. Вспоминаем, что символ Шлефли куба {4,3}, это значит, что грани куба - четырёхугольники (квадраты), а в каждой вершине (все вершины равноправны, т.к. это правильный многогранник) сходится по три таких квадрата. Это не трудно проверить мысленно. Теперь вспоминаем, что плоскость евклида можно замостить {4,4} - квадраты, сходящиеся по 4 в вершине, это наша классическая бумага в клеточку, по математике. По аналогии, очевидно среднему школьнику, что трёхмерное пространство евклида можно замостить {4, 3, 4}. Мысленно представили пространство сплошь заполненное кубами одинакового между собой, но произвольного в принципе размера. Теперь поместим это разбиение {4,3,4} евклидова трёхмерия в трёхмерное Лобачевского. Что произойдёт? Углы-то двухгранные хоть чуть-чуть, но меньше 90 и образуются дырки, ведь кубики подсдулись немного. Но не беда, начинаем раздувать кубики, углы уменьшаются и в итоге становятся равными, о чудо! ровно 2¶/5 ~ 72 градуса. И такие кубики уже без зазоров замощают всё трёхмерное пространство Лобачевского. Это разбиение записывается {4,3,5}. Раздуваем дальше, получаем {4,3,6} и т.д. Как мы по листику в клетку представляем структуру евклидовой плоскости, так по замощениям пространства, можно представлять мысленно структуру трёхмерного пространства Лобачевского и его пространства бОльших размерностей тоже. Ещё одно замечание, если в евклидовом пространстве приложить друг к другу два куба по граням, то между гранями не останется зазора. Если в евклиде приложить два "сдутых" куба, но между их гранями образуется пустота. Так соль в том, что если два "сдутых" куба приложить по граням в лобачевском, то пустоты не останется. --Metron19 19:55, 29 июня 2014 (UTC)

На самом деле я допустил некоторую неточность. Дело в том, что прежде чем, грани куба станут параллельными (т.е. рёбра уйдут на абсолют, в бесконечность) вершины куба уйдут на абсолют. И если нас интересуют разбиения на многогранники у которых есть вершины, то раздувать придётся прекратить раньше, чем, когда двугранные углы станут равными нулю, а в тот момент, когда вершины уйдут на абсолют. В этом случае, замощений пространства может оказаться действительно конечное число, не готов сейчас сказать сколько и какие. Но в исходной статье явно в этом отношении была допущена ошибка: {3,5,3} (по 12 икосаэдров в вершине) {4,3,5} (по 20 кубов в вершине) {5,3,4} (по 8 додекаэдров в вершине) {3,5,3} (по 20 додекаэдров в вершине) 1-я и 4-я строка показывают один и тот же символ Шлефли (значит это одинаковые разбиения), а пояснения разные. Это явная ошибка. Повторюсь, бесконечные серии многогранников, которые я привёл в основной статье, получаются из допущения, что объём многогранников может быть бесконечным. --Metron19 20:30, 29 июня 2014 (UTC)

• Все это, конечно, интересно. Только вот объясните, пожалуйста, какое отношение все эти теоретические рассуждения имеют непосредственно к статье? --Grig_siren 07:40, 30 июня 2014 (UTC)

• К статье, это имеет непосредственное отношение. Статья называется "Геометрия Лобачевского". Понимать, не только абстрактно-теоретически, но и интуитивно-образно, что такое "Геометрия Лобачевского" интересно, нужно, можно и полезно. И, как правильно задан вопрос, это интересно не только в плоскости, но и в пространствах бОльшей размерности. Это не теоретические, а образные рассуждения об устройстве пространства Лобачевского, помогающие раскрыть суть статьи и суть предмета, а значит они имеют непосредственное отношение к статье.

--Metron19 10:40, 1 июля 2014 (UTC)

• • Коллега, Вы, похоже, не понимаете, что на этой странице идет обсуждение статьи Википедии как таковой, а не темы, которой посвящена эта статья. --Grig_siren 15:28, 1 июля 2014 (UTC)

Да, похоже на то :) Я не частый правщик статей, поэтому не знаю каких-то правил. Надо понимать, что тут обсуждаются какие-то технические вопросы по статье.Metron19 07:45, 27 ноября 2014 (UTC)

Реализация в коде?

Долго искал в интернетах, гуглил, но так и не нашёл ничего вообще. Меня интересуют программные алгоритмы для работы с таким вот неевклидовым пространством. Хотя бы просто методы отрисовки.

например рисунок в статье "Заполнение пространства Лобачевского правильными додекаэдрами ({5,3,4})" как отрендерить такое построение? 95.220.107.143 14:30, 9 мая 2013 (UTC)

Maurice Margenstern 1 провёл ряд исследований, связанных с клеточными автоматами (также en:Garden of Eden (cellular automaton)#Limitations) на гиперболических замощениях (heptagrid, pentagrid и т.д.) Для адресации ячеек он использует координатную систему, связанную с системой счисления Фибоначчи. Подробнее не вникал, но, насколько знаю, кроме него почти никто серьёзно этим не занимался. Stannic 09:55, 13 августа 2013 (UTC)

Для простой отрисовки есть апплет [1] с исходным кодом. Ещё, кажется, была пара статей на Хабрахабре. Stannic 09:55, 13 августа 2013 (UTC)

У меня есть алгоритм построения разбиения плоскости Лобачевского на javascript, тут мой проект https://github.com/metron/math/tree/master/PuankareII-html, но не уверен, что с ним будет просто разобраться, без предварительной беседы по теории этого построения. К тому же, к сожалению, я не довёл построения до конца, т.е. программа требует ещё доработки, а времени на это пока нет. Так же я выкладывал промежуточные результаты на веб сайт но он сейчас не доступен. Идея построения взята у Рышкова Сергея Сергеевича. Моя почта, если что metron19@yandex.ru --Metron19 13:06, 28 июня 2014 (UTC)

Metron19 07:42, 27 ноября 2014 (UTC)

Лобачевский головного мозга

Здесь находятся завершившиеся обсуждения. Просьба не вносить изменений.

На картинке(3)изображена изогнутая поверхность и лежащие на ней линии изогнуты соответственно. Если кривое называть прямым, то можно "доказать" что угодно.--DrNeubauer 06:40, 9 января 2014 (UTC)

• "Кривое" и "прямое" - это только термины. Их можно заменить любыми другими словами. А вот доказательство - это установление причинно-следственной связи между явлениями. И оно зависит только от заданных по определению свойств объектов, определяемых терминами. --Grig_siren 10:22, 13 января 2014 (UTC)

По-вашему любые термины можно менять в произвольном порядке? Какая причинно-следственная связь между линиями лежащими на поверхности?--DrNeubauer 01:04, 14 января 2014 (UTC)

• любые термины можно менять в произвольном порядке? - в рамках математической науки - да. Математика отличается от других наук тем, что она является сугубо абстрактной наукой. Любые записи и изображения служат только для наглядности изложения, но не могут быть использованы как основание для каких-либо выводов. Таковыми основаниями могут быть только определения, аксиомы и уже доказанные теоремы. И ничего сверх того. Кстати, о применении терминов: Вас не смущает, что при описании Кварков (физических частиц размерами в 10000 раз меньше атомного ядра) и их взаимодействий применяются такие термины, как аромат, цвет и поколение? --Grig_siren 07:46, 14 января 2014 (UTC)

в рамках математической науки - да.

В таком случае шарлатанам есть где разгуляться.--DrNeubauer 09:25, 14 января 2014 (UTC)

Да, вероятно, чем абстрактнее наука, тем проще шарлатанам в ней "разгуляться". Однако, это ещё не значит, что все абстрактные знания есть ложь. Вот Земля плоская? Нет, она сферическая. А вы возьмите сферу и нарисуйте на нём треугольник, правильный треугольник, у которого все стороны равны. Вы сможете провести прямую на сферической поверхности? Евклидову прямую нет, но если немного обобщить понятия прямой, то такой треугольник и прямые на сфере провести можно. Только стороны такого треугольника получатся немного кривыми, как бы раздутыми от центра треугольника, по сравнению с евклидовым треугольником. А теперь возьмите и выгните немного стороны треугольника в обратную сторону, в сторону центра. Мысленно сделали это? Поздравляю, вы мысленно нарисовали треугольник в плоскости Лобачевского. Все абстрактные знания находят вполне адекватные образы в Жизни и прикладное назначение. Наверное и есть ложь, но вот чтобы отличать ложь от истины - нужно изучать математику. Математика - царица наук. :) --Metron19 19:03, 29 июня 2014 (UTC)

Прямая есть прямая, а "эвклидова прямая" это уже лукавство, допускающее какие-то иные "прямые". Математика(геометрия) основана на априорной форме восприятия пространства и является языком науки.--DrNeubauer2 12:12, 20 октября 2014 (UTC)

Математика(геометрия) основана на априорной форме восприятия пространства - Неправильно. Математика - абстрактная наука. Она основана на первичных понятиях (для которых даже определений не существует), определениях (т.е. суждениях вида "А - это Б, обладающее свойством В") и аксиомах (т.е. суждениях вида "если выполнено условие А, то из этого следует, что выполняется условие Б"). Потом из этого еще выводятся теоремы. И все. Ничего сверх того. Никакого "восприятия пространства" для математики не нужно. Все прикладные возможности математики (вроде геометрических задач на построение) - это результат подбора определений и аксиом с таким рассчетом, чтобы в результате получилась абстрактная модель реального мира. --Grig_siren 12:35, 20 октября 2014 (UTC)

Понятие – это форма мышления; это мысль о предмете, выражающая его существенные признаки. Не захламляйте, пожалуйста, обсуждение белибердой вроде: "понятие без определения"))--DrNeubauer2 14:33, 20 октября 2014 (UTC)

Обсуждение ерунды закончено, участник был бессрочно заблокирован ещё зимой за деструктивное поведение. LGB 17:24, 20 октября 2014 (UTC)

Комментарий: Определение понятия даётся через более общее понятие. Отсюда следует, что понятия наибольшей общности не могут иметь определения в обычном смысле этого слова. --Humanitarian& 18:39, 20 октября 2014 (UTC)
«Математика(геометрия) основана на априорной форме восприятия пространства.» -- Так считал Кант в 18-м веке (и Шопенгауэр в 19-м). С конца 19 -- начала 20 веков, в частности, после работ Гуссерля в философии и Гильберта в математике такая точка зрения может считаться устаревшей. Кант не различал идеальные (мыслимые) пространства (их характеристики зависят от выбранных систем аксиом; эти пространства строятся согласно законам формальной логики и необязательно должны быть наглядно представляемыми), реальное пространство (эмпирическое, изучаемое физикой) и пространство наглядного представления. --Humanitarian& 19:19, 20 октября 2014 (UTC)
Коллега Grig_siren, конечно, прав, но за вычетом одной формулировки -- «А вот доказательство - это установление причинно-следственной связи между явлениями». Применительно к математике такая формулировка некорректна, математика имеет дело не с причинно-следственными связями (как физика и другие естественные науки), а с отношением логического следования (основание -- следствие, но не причина -- действие). --Humanitarian& 09:23, 21 октября 2014 (UTC)

• Вообще-то физика изучает не пространство, а объекты в пространстве. А для этого, представление о пространстве уже должно существовать. Возвращаясь к теме, у Лобачевского очевидная подмена понятий. Кстати, мне было бы интересно ознакомиться с внятной критикой кантовского априорного взгляда и шопенгауэровского "о четверояком корне достаточного основания", который развивает кантовскую гносеологию. Упоминался Гуссерль. Конкретно какая работа? Вероятно сообщение потрут, поэтому желательно в личку neubauer@inbox.lv С ув. DrNeubauer

212.93.97.116 15:36, 22 октября 2014 (UTC)

• Строго говоря, Гуссерль писал о логике, а не о математике (впрочем, он считал, что это одна наука). Я имел в виду прежде всего 1-ый том его «Логических исследований». Кое-что там есть и о неевклидовых геометриях, см. параграф 70 [2]. Применительно к математике идеи Гуссерля были развиты Николаем Гартманом. См. в Википедии Философия Николая Гартмана#Философия природы. А также четвёртую часть переведённой на русский язык его работы «К основоположению онтологии». --Humanitarian& 17:08, 22 октября 2014 (UTC)
  Вести переписку на эту тему я, наверное, не буду. У меня нет задачи непременно переубедить Вас. --Humanitarian& 17:28, 22 октября 2014 (UTC)

• Ну это уже придирки к словам пошли. --Grig_siren 09:42, 21 октября 2014 (UTC)

Определение понятия даётся через более общее понятие. Отсюда следует, что понятия наибольшей общности не могут иметь определения в обычном смысле этого слова. --Humanitarian& 18:39, 20 октября 2014

Да, пожалуй, что наиболее общие понятия должны быть определены как-то иначе, эмпирически, образно. Но это не значит, что таких понятий не существует, существуют: Материя, Мера, Информация. Числами (Мерою), можно закодировать Материю (измерить размер, массу и т.д.) -> получится Информация (запись параметров Материи на листе). И обратно, имея Информацию (проект дома) и зная Меру (кодировку проекта) -> дом можно Материализовать, построив его. Материя и Информация взаимно-однозначно соответствуют друг другу через Меру (числа). Математика - наука о Мере, о её свойствах, как таковой и, как оказывается, свойства Меры зачастую предсказывают свойства Материи. Metron19 08:01, 27 ноября 2014 (UTC)

Кто такой "Дж. Витале (1680)"?

Поиск по этому имени ничего не даёт. Среди математиков 17 века ни на русской, ни на итальянской версии такого нет. Есть другой математик 19 века, Витали, Джузеппе, но он занимался матанализом. В статьях в интернете, похоже, этого неуловимого Дж. Витале перепечатывают без проверки. Р.Н. Юрьев (обс.) 04:24, 22 июня 2018 (UTC)

Я покопался в истории правок. Обсуждаемую фразу вставил Басманов Даниил в 12:25, 19 июля 2007 года, и она представляет собой, судя по всему, копивио из БСЭ (см. тут). Лучше в этом месте статьи вставить пару абзацев из статьи Пятый постулат, там все ссылки указаны. LGB (обс.) 11:10, 22 июня 2018 (UTC)

Спасибо. Вообще такие ссылки, конечно, требуют перепроверки, а ещё лучше - редактирования с отсылкой к реальному источнику, да только знать бы, на что ссылаться. А то ссылки формально есть, а по сути - в никуда. Р.Н. Юрьев (обс.) 13:28, 22 июня 2018 (UTC)

Длинна проекции наклонной на плоскости Лобачевского

Возник вопрос по поводу сферической окружности. Может ли проекция наклонной быть длиннее чем данная наклонная, проведённая к плоскости Лобачевского Novoshinskiy Roman (обс.) 11:05, 11 января 2024 (UTC)

• Здесь обсуждается статья Википедии, посвященная геометрии Лобачевского, а не геометрия Лобачевского как таковая и связанные с ней сугубо научные вопросы. Grig_siren (обс.) 12:01, 11 января 2024 (UTC)