Обсуждение:Египетский треугольник

Источники

Сейчас в статье единственный источник о том, что египтяне применяли Е.Т., это подстрочное примечание к переводу Ван дер Вардена, в котором говориться, что советские иследователи что-то нашли. Хотелось бы найти более конкретные ссылки. Alexei Kopylov 02:56, 1 июля 2015 (UTC)

При всём уважении к Ван дер Вардену, я не смог отыскать современных учёных, поддерживающих его точку зрения (высказанную в первой половине XX века). Похоже на то, что его утверждение сейчас является маргинальным. Для ясности могу привести несколько ссылок.

1. Зверкина Г. А. История математики: Учебное пособие. – М.: МИИТ, 2005. — 108 с.,

Говоря о египетской геометрии, естественно упомянуть «египетские треугольники» – прямоугольные треугольники с целочисленными сторонами, известные и в Месопотамии. В землемерной практике знание таких треугольников позволяло с помощью шнура с завязанными на нем на равном расстоянии узлами размечать прямые углы земельных участков.

1. G. Robins, C. C. D. Shute, Mathematical bases of ancient Egyptian architecture and graphic art, Historia Math. 12 (2) (1985), 107-122: Certain constructions were made so that the triangle which was formed by the base, height and slope height of the pyramid was a 3, 4, 5 triangle.
2. Цейтен.История математики в древности и в средние века, стр. 23.

Для построения прямых углов на плоскости [египтяне] пользовались, по-видимому, треугольником со сторонами соответственно равными 3, 4 и 5.

Если настаиваете, можно добавить в статью какой-нибудь из этих источников. LGB 12:00, 1 июля 2015 (UTC)

Спасибо. Я посмотрю ссылки. Alexei Kopylov 15:17, 1 июля 2015 (UTC)

ОК, я посмотрел ссылки. Зверкина и Цейтен, по-моему, не очень серьезны - они не приводят ни обоснований, ни источников, а так как Ван дер Варден показал, что история про веревку пошла от Кантора, то мы не можем принимать такие некритические голословные утверждения. Кроме того, Зверкина говорит про Месопотамию. То что Вавилоняне знали египетские треугольники - никто не сомневается. А Цейтен говорит очень осторожно: "по-видимому".

Статья Robins & Shute гораздо более серьезная. Я ее с интересом прочитал. Но там нет той цитаты. Там действительно изучаются наклоны граней египетских пирамид. Утверждается, что их секед (коэффицент наклона умноженный на 7) близки к целому числу четвертей. Далее авторы замечают, что некорые пирамиды имеют секед 5¼, то есть как у гипотенузы треугольника 3:4:5. Далее говориться:

There has been argument as to whether the ancient Egyptians knew this triangle, and various authorities cited by Gillings [1972, Appendix 5] have asserted that there is no evidence that they did. According to Peet [1923, 32], «nothing in Egyptian mathematics suggests that the Egyptians were acquainted even with special cases of Pythagoras’ theorem.» Nevertheless, the adoption of a seked of 5¼ palms does support the tradition that the ancient Egyptians came to know of the 3:4:5 relationship (see also [Lumpkin 1980]) and suggests that they may have decided to use it deliberately in pyramidal design. It may even have formed a convenient basis for set squares used by the stonemasons.

То есть, авторы согласны с тем, что нет прямых свидетельств того, что египтяне знали, что треугольник 3-4-5 прямоугольный, но осторожно предполагают, что может быть наклон пирамид может быть использован как аргумент.

Кроме того, я посмотрел Gillings и Lumpkin, на которых ссылаются авторы. Первый приводит много цитат, которые согласны с Ван дер Варденом: Archibald 1949, Dirk Struik 1948, Seidenberg 1950, Health 1962. Так что ван дер Варден, как минимум не одинок.

Lumpkin, ссылаясь на того же Gillings 1972, говорит, что хотя Gillings и не говорит, что египтяне знали хотя бы частный случай теоремы Пифагора, в его работе есть два намека на то, что они могли его знать (Первый - en:Berlin Papyrus 6619, второй - отношение double remen/cubit приблизительно равно корню из 2). Насколько эти аргументы убедительны - не нам судить, но важно, что автор не настаивает на том, что это является доказательством, а только предположением.

Итак, подводя итог прочитаному, мне кажется, что во-первых среди ученных все же есть консенсус, что нет прямых свидетельств того, что египтяне знали теорему Пифагора, хотя бы в частном случае, несмотря на то, что в популярной литературе такое мнение продолжает встречатья. Во-вторых, известно, что для некотых пирамид (но не для всех) наклон был сознательно выбран равным 3:4. Однако нет прямых свидетельств, что египтяне осознавали, что у такого треугольника гипотенуза равна 5. В-третьих, некоторые ученые предпологают, что есть косвенные свидетельства (в частности наклон пирамид) того, что египтяне знали теорему Пифагора. В-четвертых, история про использовании веревки с узелками никаких подтверждений не имеет.

Если нет возражений, то про это всё надо написать в статье. Alexei Kopylov 10:15, 2 июля 2015 (UTC)

Не могу согласиться с некоторыми вашими утверждениями. Ван дер Варден не доказал, что «история про веревку пошла от Кантора», он лишь отметил, что Кантор высказал такое мнение, но ничем не доказал, что такое мнение никто не высказывал до Кантора. Вы же сами пишете, что «мы не можем принимать некритические голословные утверждения». Далее, вы пишете: «Зверкина говорит про Месопотамию». Смотрим приведенную мной цитату: «Говоря о египетской геометрии, естественно упомянуть „египетские треугольники“» — это не про Месопотамию, а как раз про Египет.

Наконец, вы смешиваете два совершенно не связанных утверждения: «египтяне использовали египетский треугольник для построения прямых углов» и «египтяне знали теорему Пифагора». Ни одно из них не вытекает из другого. Я согласен, что второе утверждение, по общему мнению, сомнительно и не доказано, но это не предмет нашего спора и не предмет данной статьи. Первое утверждение, тоже не доказано, однако у него гораздо больше сторонников. Подстрочное примечание в стр. 13, с которого началась наше обсуждение, сделал общепризнанный авторитетный историк математики И. Н. Веселовский, и если он пишет, что «египтяне действительно пользовались треугольником «3—4—5», то отвергать это мнение без веских оснований нельзя

В качестве консенсуса предлагаю вообще выбросить из статьи фразу про спорное мнение Ван дер Вардена. Не возражаю против смягчения предыдущей фразы, например, так: «Египетский треугольник, по мнению многих историков, активно применялся» и т. д. LGB 12:17, 2 июля 2015 (UTC)

Я не совсем правильно, выразился. Я имел ввиду, что коль скоро ван дер Варден утверждает, что общепризнанный во многих научно-популярных книгах “факт”, что египтяне использовали треугольник 3:4:5 взялся из необоснованной гипотезы Кантора, то чтобы опровергнуть это утверждение ван дер Вардена, недостаточно приводить примеры из научно-популярных книг, где этот “факт" повторяется. Это конечно не относиться к подстрочному комментарию Весеовского.

Я не согласен, что мнение ван дер Вардена надо убрать. Оно высказано в одном из основных трудов по теме и следовательно значимо, не зависимо от того верно оно или нет. Если действительно оно является сейчас маргинальным, то это стоит осветить в статье. Однако пока я не увидел подтверждения, что это мнение маргинальное.

Далее я абсолютно согласен, что надо различать утверждения: «египтяне использовали египетский треугольник для построения прямых углов» и «египтяне знали теорему Пифагора». На самом деле надо различать несколько утверждений:

1. Египетские землемеры использовали треугольник составленный из веревок со сторонами 3:4:5 для построения прямых углов.

Ван дер Варден утверждает, что это легенда, которая пошла от Кантора, и пока я не видел ни одного ученного, который бы не соглашался с этим утверждением ван дер Вардена (именно про веревки и землемеров). Как раз наоборот, Gillings приводит цитаты разных ученных, которые с ним соглашаются.

2. Египетский архитекторы использовали отношение 3:4 для построения пирамиды.

Весеовский говорит именно об архитектуре. Ваш источник (Robins & Shute) меня вполне убедил, что это так.

3. Египтяне знали, что треугольник 3:4:5 прямоугольный и применяли его для построения прямых углов.

Тут есть ученные, которые хотя и признают, что прямых доказательств этому нет, и что это мнение не общепринято, утверждают, что есть намеки, свидетельствующие об этом. Имено в таком ключе пишут Robins & Shute и Lumpkin. Единственным исключением - является подстрочный коментарий Весеовского, который утверждает, что египтяне пользовались этим треугольником, без всяких оговорок. Однако, к сожалению он не приводит ссылок. В этом вопросе мне, кажеться, мы больше должны доверять более поздним и более полным источникам. Во-первых, если бы действительно, были бы доказательства того, что египтяне использовали треугольник 3:4:5, то Robins & Shute и Lumpkin, которые приводили аргуметы в пользу этой гипотезы, эти бы доказательства они бы упомянули. Во-вторых из текста комментария Весеовского следует, что он имеет ввиду те же аргументы, что привели Robins & Shute. Поэтому, пока я не считаю, что мы можем написать, что эта гипотеза доказана. Но стоит написать, что есть ученые, которые в нее верят.

Согласны ли вы с моими позициями по 1 и 3? Alexei Kopylov 15:18, 3 июля 2015 (UTC)

P.S. Я скорее всего буду без интернета в течении недели, так что продолжим спор потом. Alexei Kopylov 15:18, 3 июля 2015 (UTC)

Вы, извините, не очень объективны. Мнение Ван дер Вардена об авторстве Кантора, ничем не подкреплённое, вы называете «доказательством», а мнения Цейтена и Зверкиной объявляете «несерьёзными» и даже научно-популярными (это какая из их работ научно-популярная?). Я вовсе не настаиваю на доказанности ни приведенного вами утверждения 1 (кстати, в статье вообще ничего не говорится о верёвке), ни утверждения 3. Оба эти утверждения, а также противоположные, опираются только на мнения конкретных историков и (не всегда убедительные) их рассуждения. Если вы настаиваете на сохранении упоминания Ван дер Вардена, предлагаю тогда предложенную мной фразу: «Египетский треугольник, по мнению части историков, активно применялся...», против которой вы вроде бы не возражали, дополнить, скажем, так: «Другие историки, в частности, Ван дер Варден, отвергают утверждение, что древние египтяне использовали этот треугольник для построения прямых углов». LGB 11:52, 5 июля 2015 (UTC)