Обсуждение:Логика высказываний

Почему в пропозициональные связки в статье не входит эквиваленция? У Роберта Р.Столла в труде "Множества, логика, аксиоматические теории", например эквиваленция входит в набор сентенциональных связок. 79.174.35.190 12:15, 20 января 2010 (UTC)

• Эквиваленцию наряду с отрицанием, конъюнкцией и дизъюнкцией и импликацией вводят в язык Логики высказываний многие классические труды. Однако легче определить язык ЛВ, используя только отрицание, конъюнкцию, дизъюнкцию и импликацию, а эквиваленцию определить через эти связки, потому что так мы, во-первых, сократим доказательства, в которых используется индукция по построению формулы, во-вторых, сократим доказательства некоторых теорем. Zaku12 (обс.) 18:54, 17 июня 2022 (UTC)

Ничего, что тавтологии с исчислением перепутаны? А то я смотрю всех всё устраивает.

Содержание статьи

Кое-как основное содержание в статье присутствует (хотя его надо бы ещё улучшить). Среди возможных добавлений видятся:

• расширить понятие оценки (означивание) и добавить соответствующие термины, чтобы была чётче видна связь между «формулами» и «возможными мирами» (Крипке) - без этого статья является поверхностной. Другими словами, дополнить семантическую сторону вопроса.
• может быть, ввести метаязык, чтобы не было путаницы между высказываниями и «высказываниями о высказываниях»
• метод таблиц истинности
• связь с понятиями ДНФ, КНФ, булева логика
• может быть, что-то сказать о модальных логиках и связь с интуиционистской логикой?

РоманСузи 15:49, 5 октября 2012 (UTC)

На этой логике вчерашние школьники впервые знакомятся вообще с формальностью в логике. Не стоит вносить сюда что-то такое, что они не поймут полностью.85.26.233.1

• В английской версии есть название "zero order logic", оно хорошо характеризует логику высказываний и ставит её в ряд других.
• Импликацию часто понимают как вывод, хотя это обычная связка как и-или, не отличают импликацию от горизонтальной строки в modus ponens.

Я внес правки, но они были отменены с комментарием "требуется источник". Сам это изучал 30 лет назад и много полезного мог бы добавить. Просто исправил что совсем сразу бросается в глаза. Источник назвать не могу. Просто если нарисовали длинную горизональную линию в modus ponens то стот как-нибудь объяснить что это такое и чем отличается от импликации. Zero order logic название куда вразумительнее, чем "логика высказываний", в выражения вроде (A->B) не видно никаких высказываний ни от кого ни про что. Да и от логики тут почти ничего, это типичное алгебраическое выражение из переменных и связок по правилам грамматики, хоть и над булевыми переменными. NOwiking (обс.) 09:49, 28 января 2017 (UTC)

• • Статьи в Википедии пишутся по источникам. Информация должна быт проверяема. — Алексей Копылов 10:19, 28 января 2017 (UTC)

Язык логики высказываний

В связи с этой правкой возник вопрос: как быть с горизонтальной чертой, отделяющей посылки от вывода, если она не входит в алфавит логики высказываний даже в качестве технического знака? На каком основании она в таком случае в ней используется? Такой же вопрос по поводу используемой в записях логических построений запятой. --Humanitarian& 21:22, 9 февраля 2014 (UTC)

• Алфавит ЛВ используется для построения формул. Все формулы, построенные по правилам описанной грамматики, являются правильно построенными формулами. Горизонтальная черта не используется для построения формул ЛВ, а поэтому не входит в алфавит символов. Запятая как технический символ в ЛВ не используется, информацию о запятой убрал (была ссылка на Ершов Ю. Л., Палютин Е. А. Математическая логика. М., Наука, 1979. с. 24, этот источник я не смог найти, но возможно, что тот, кто его реферировал, мог перепутать язык ЛВ с языком первого порядка, в котором используется символ запятой для построения формул) Zaku12 (обс.) 19:31, 17 июня 2022 (UTC)

Большие буквы в языке логики высказываний

Сначала объявляются маленькие буквы и знаки операций, веско заявляется "Других знаков в алфавите языка логики высказываний нет.", а потом, через раздельчик, ни с того ни с сего начинают использоваться большие буквы для обозначения функций. Что за беда? --Nashev 11:12, 13 февраля 2014 (UTC)

• Да ведь сказано же:

  Заглавные латинские буквы A, B и др., которые употребляются в определении формулы, принадлежат не языку логики высказываний, а его метаязыку, т.е. языку, который используется для описания самого языка логики высказываний. Содержащие метабуквы выражения $\neg A,(A\to B)$ и др. — не пропозициональные формулы, а схемы формул. Например, выражение $(A\wedge B)$ есть схема формул $(p\wedge q)$, $(p\wedge (r\vee s))$ и др.

  --Humanitarian& 17:20, 13 февраля 2014 (UTC)

• Ок, спасибо. Переставил этот кусочек в более адекватное место. --Nashev 00:29, 17 февраля 2014 (UTC)
  • Пояснение о заглавных буквах перенес после определений формул, уточнив, что они принадлежат множеству формул $Fm$. Zaku12 (обс.) 20:25, 17 июня 2022 (UTC)

• А где полное описание этого метаязыка увидеть? про двоеточия, дроби и т.п? --Nashev 15:06, 2 ноября 2017 (UTC)
  • Полное описание метаязыка в основном не дается и не нужно для целей определения формул ЛВ. Zaku12 (обс.) 20:25, 17 июня 2022 (UTC)

Штрих Шеффера и стрелка Пирса как логические операции

Добрый день. Я прошел по предоставленным ссылкам, где описан алфавит языка логики высказываний и не нашел там штриха Шеффера и стрелки Пирса. В других книгах они также не указаны как логические операции языка ЛВ. Если у вас есть источник, то добавьте ссылку. А иначе получается, что читателя вводят в заблуждение: даются ссылки на то, чего там нет.

Как я понимаю, есть различие между булевыми функциями и операциями языка логики высказываний: не все булевы функции входят в алфавит языка ЛВ. В противном случае пришлось бы добавить 4 булевы функции одного аргумента и 16 бинарных булевых функций. Поэтому я удаляю штрих Шеффера и стрелку Пирса из списка логических операций. 178.120.46.180 20:02, 10 января 2019 (UTC)

• Не существует единого определения языка ЛВ. Разные учебники по разному определяют список базовых операций. Считаю, что мы должны следовать одному определению, указав, что возможны другие. Предлагаю убрать и знак эквивалентности, и исключающее ИЛИ. Ни в "Соглашении о скобках", ни в Аксиоматике этих операций нет. Но у меня сейчас нет источников под рукой. Может вы напишите, какой источник у вас и какие там связки? — Алексей Копылов 01:05, 11 января 2019 (UTC)
  • Сильная дизъюнкция в разных источниках то есть, то нет. А эквивалентность, как правило, есть. Я бы эквивалентность оставил. Тем более там есть законы де Моргана, теорема о равносильных высказываниях и т.д. 178.120.44.244 17:25, 11 января 2019 (UTC)
    • Можно сказать, что $a\leftrightarrow$ это просто сокращение для $(a\rightarrow b)\wedge (b\rightarrow a)$. Иначе нужно писать аксиомы с эквивалентностью. — Алексей Копылов 21:06, 11 января 2019 (UTC)
  • Не совсем согласен, что нужно следовать только одному определению. Определений языка логики высказывания может быть сколько угодно: достаточно взять любой набор логических связок, удовлетворяющий критерию Поста. Мне кажется нужно показать именно этот факт, поскольку ни одна система не лучше другой. Здесь в обсуждении было сказано, что стоит привести наиболее простую аксиоматику, чтобы вчерашним школьникам было это понятно. У меня есть большие сомнения, что система с 11-ю аксиомами будет понятна человеку, который ещё не изучал логику. В общем я предлагаю пока что за основную аксиоматику взять систему $P_{2}$ Чёрча, где есть две связки — импликация и отрицание, и 3 аксиомы:

$B\to (A\to B)$

$(A\to (B\to C))\to ((A\to B)\to (A\to C))$

$(\lnot A\to \lnot B)\to (A\to B)$

Такая система выглядит куда проще системы с 11-ю аксиомами и будет более понятна новичкам, к тому же, она очень часто используется на практике. Arami Mira (обс.) 21:22, 10 мая 2022 (UTC)

Знак выводимости

«Некоторые авторы вместо строгой дизъюнкции и эквивалентности используют знак выводимости ${\displaystyle \vdash }$» (со ссылкой на Ершов Ю. Л., Палютин Е. А. Математическая логика. — М., Наука, 1979. — с. 24) проверить не могу, однако удаляю, потому что в изданиях 1987 (с. 22) года и 2011 (с. 19) знак выводимости использует в его обычном употреблении. Обращаю внимание, что авторы используют его в алфавите Исчисления высказываний Zaku12 (обс.) 19:32, 17 июня 2022 (UTC)

Дополнение к содержанию статьи

В математике используются левоассоциативные и правоассоциативные операции.

Операция $\circ$ называется левоассоциативной, если скобки расставляются слева направо, то есть

$A\circ B\circ C\circ D\Leftrightarrow (A\circ B)\circ C\circ D\Leftrightarrow ((A\circ B)\circ C)\circ D\Leftrightarrow (((A\circ B)\circ C)\circ D)$

Примеры левоассоциативных операций, которые могут использоваться в логике.

$A\land B\land C\Leftrightarrow ((A\land B)\land C)$

$A\lor B\lor C\Leftrightarrow ((A\lor B)\lor C)$

$A\oplus B\oplus C\Leftrightarrow ((A\oplus B)\oplus C)$

$A\leftrightarrow B\leftrightarrow C\Leftrightarrow ((A\leftrightarrow B)\leftrightarrow C)$

$A\downarrow B\downarrow C\Leftrightarrow ((A\downarrow B)\downarrow C)$

$A\uparrow B\uparrow C\Leftrightarrow ((A\uparrow B)\uparrow C)$

$A$ ° $B$ ° $C\Leftrightarrow ((A$ ° $B)$ ° $C)$

Операция $\bullet$ называется правоассоциативной, если скобки расставляются справа налево, то есть

$A\bullet B\bullet C\bullet D\Leftrightarrow A\bullet B\bullet (C\bullet D)\Leftrightarrow A\bullet (B\bullet (C\bullet D))\Leftrightarrow (A\bullet (B\bullet (C\bullet D)))$

Примеры правоассоциативных операций, которые могут использоваться в логике.

$A\rightarrow B\rightarrow C\Leftrightarrow (A\rightarrow (B\rightarrow C))$

$\neg \neg A\Leftrightarrow (\neg (\neg p))$

Чтобы сократить число скобок, математики договариваются:

1) о приоритетах операций.

$A_{6}\leftrightarrow A_{5}\rightarrow A_{4}\lor A_{3}\oplus A_{2}\land \neg A_{1}\Leftrightarrow (A_{6}\leftrightarrow (A_{5}\rightarrow (A_{4}\lor (A_{3}\oplus (A_{2}\land (\neg A_{1}))))))$

2) об опускании внешних скобок,

$A\bullet B\Leftrightarrow (A\bullet B)$

$\neg A\Leftrightarrow (\neg A)$

С учётом сказанного, аксиомы логики высказываний, приведённые в статье "Логика высказываний", можно записать в виде:

$A\rightarrow B\rightarrow A\Leftrightarrow (A\rightarrow (B\rightarrow A))$

$(A\rightarrow B\rightarrow C)\rightarrow (A\rightarrow B)\rightarrow A\rightarrow C\Leftrightarrow ((A\rightarrow (B\rightarrow C))\rightarrow ((A\rightarrow B)\rightarrow (A\rightarrow C)))$

$A\land B\rightarrow A\Leftrightarrow ((A\land B)\rightarrow A)$

$A\land B\rightarrow B\Leftrightarrow ((A\land B)\rightarrow B)$

$A\rightarrow B\rightarrow A\land B\Leftrightarrow (A\rightarrow (B\rightarrow (A\land B)))$

$A\rightarrow A\lor B\Leftrightarrow (A\rightarrow (A\lor B))$

$B\rightarrow A\lor B\Leftrightarrow (B\rightarrow (A\lor B))$

$(A\rightarrow C)\rightarrow (B\rightarrow C)\rightarrow A\lor B\rightarrow C\Leftrightarrow ((A\rightarrow C)\rightarrow ((B\rightarrow C)\rightarrow ((A\lor B)\rightarrow C)))$

$\neg A\rightarrow A\rightarrow B\Leftrightarrow ((\neg A)\rightarrow (A\rightarrow B))$

$(A\rightarrow B)\rightarrow (A\rightarrow \neg B)\rightarrow \neg A\Leftrightarrow ((A\rightarrow B)\rightarrow ((A\rightarrow (\neg B))\rightarrow (\neg A)))$

$A\lor \neg A\Leftrightarrow (A\lor (\neg A))$

NB. Длина второй аксиомы (без учёта пробелов) равна 25 символов.

Левоассоциативные операции могут быть ассоциативными операциями. Таковы операции $\land ,\lor ,\oplus$ и $\leftrightarrow$.

Если $|A|,|B|,|C|\in \{0,1\}$, тогда $|A\land B\land C|=|(A\land B)\land C|=|A\land (B\land C)|$

Если $|A|,|B|,|C|\in \{0,1\}$, тогда $|A\lor B\lor C|=|(A\lor B)\lor C|=|A\lor (B\lor C)|$

Если $|A|,|B|,|C|\in \{0,1\}$, тогда $|A\oplus B\oplus C|=|(A\oplus B)\oplus C|=|A\oplus (B\oplus C)|$

Если $|A|,|B|,|C|\in \{0,1\}$, тогда $|A\leftrightarrow B\leftrightarrow C|=|(A\leftrightarrow B)\leftrightarrow C|=|A\leftrightarrow (B\leftrightarrow C)|$

Левоассоциативные операции могут не быть ассоциативными операциями. Таковы операции $\downarrow$ и $\uparrow$.

Если $|A|=1$, a $|B|=|C|=0$, тогда $|A\downarrow B\downarrow C|=|(A\downarrow B)\downarrow C|=1$, в то время как $|A\downarrow (B\downarrow C)|=0$

Если $|A|=1$, a $|B|=|C|=0$, тогда $|A\uparrow B\uparrow C|=|(A\uparrow B)|\uparrow C|=1$, в то время как $|A\uparrow (B\uparrow C)|=0$

Правоассоциативные операции могут не быть ассоциативными операциями. Такова операция $\rightarrow$

Если $|A|=|B|=|C|=0$, тогда $|A\rightarrow B\rightarrow C|=|A\rightarrow (B\rightarrow C)|=1$, в то время как $|(A\rightarrow B)\rightarrow C|=0$

Справочные материалы.

Если $|A|\in \{0,1\},\ |O|=0$ и $|I|=1$, тогда

$0=|O|=|A\oplus A|=|A\land \neg A|=|A\land O|$

$1=|I|=|A\oplus \neg A|=|A\lor \neg A|=|A\leftrightarrow A|=|A\rightarrow A|=|A\lor I|$

$|A|=|A\land A|=|A\lor A|=|A\land I|=|A\oplus O|=|A\lor O|=|A\leftrightarrow I|$

$|\neg A|=|A\downarrow A|=|A\uparrow A|=|A\oplus 1|=|A\rightarrow O|=|A\leftrightarrow O|$

Справочные материалы.

Если $\circ \in \{\land ,\lor ,\oplus ,\leftrightarrow ,\downarrow ,\uparrow \}$, тогда $A\circ B\Leftrightarrow B\circ A$

Если $\bullet \in \{\oplus ,\leftrightarrow ,\rightarrow \}$, тогда $A\bullet B\Leftrightarrow \neg B\bullet \neg A$

Некоторые бинарные операции могут быть не коммутативными операциями, зато контрапозиционными операциями Такова операция $\rightarrow$

Если $|A|=0$, a $|B|=1$, тогда |$A\rightarrow B$| = 1, в то время как |$B\rightarrow A$| = 0

Некоторые бинарные операции могут быть и не коммутативными, и не контрапозиционными операциями. Такова операция $A$ ° $B$ ("Даже если A, то B.", "B, несмотря на A.")

Если $|A|=0$, a $|B|=1$, тогда |$A$ ° $B$| = 1, в то время как |$B$ ° $A$| = 0

Если $|A|=0$, a $|B|=0$, тогда |$A$ ° $B$| = 0, в то время как |$\neg B$ ° $\neg A$| = 1

Справочные материалы по дистрибутивности

$A\circ (B\bullet C)\Leftrightarrow (A\circ B)\bullet (A\circ C)$

$A\land (B\oplus C)\Leftrightarrow (A\land B)\oplus (A\land C)\Leftrightarrow A\land B\oplus A\land C$

$A\land (B\lor C)\Leftrightarrow (A\land B)\lor (A\land C)\Leftrightarrow A\land B\lor A\land C$

$A\lor (B\land C)\Leftrightarrow (A\lor B)\land (A\lor C)$

$A\lor (B\leftrightarrow C)\Leftrightarrow (A\lor B)\leftrightarrow (A\lor C)\Leftrightarrow A\lor B\leftrightarrow A\lor C$

$A\rightarrow (B\leftrightarrow C)\Leftrightarrow (A\rightarrow B)\leftrightarrow (A\rightarrow C)$

Справочные материалы (законы де Моргана и аналоги)

$\neg (A\land B)\Leftrightarrow \neg A\lor \neg B$

$\neg (A\lor B)\Leftrightarrow \neg A\land \neg B$

$\neg (A\oplus B)\Leftrightarrow A\leftrightarrow B\Leftrightarrow \neg A\oplus B\Leftrightarrow A\oplus \neg B$

$\neg (A\leftrightarrow B)\Leftrightarrow A\oplus B\Leftrightarrow \neg A\leftrightarrow B\Leftrightarrow A\leftrightarrow \neg B$

$\neg (A\downarrow B)\Leftrightarrow A\lor B$

$\neg (A\uparrow B)\Leftrightarrow A\land B$

$\neg (A$ ° $B)\Leftrightarrow A$ ° $\neg B$

$\neg (A\rightarrow B)\Leftrightarrow A\land \neg B$

Справочные материалы (законы поглощения и аналоги)

$A\Leftrightarrow B$ ° $A\Leftrightarrow A\land (A\lor B)\Leftrightarrow A\lor A\land B\Leftrightarrow A\land (B\rightarrow A)$

Двоеточие

В данной стать и в книгах, что я видел в качестве "разделительного знака" используются скобки. Однако на практике в других разделах математики для формальных записей используют двоеточие. Например, тот же раздел Википедии "Предел последовательности" имеет определение с двоеточием. Не следует ли информацию о таком синтаксисе занести в статью. 87.241.189.180 09:01, 16 октября 2023 (UTC)