Обсуждение:Парадокс Ришара
И чем только люди не занимаются
Увидел более хорошее описание парадокса Ришара править
В доказательстве теоремы о неполноте Гедель следовал схеме рассуждений, близкой к той, что проводится в так называемом «парадоксе Ришара» (по имени описавшего его в 1905 году французского математика).
В чем же состоит этот парадокс? Возьмем какой-нибудь язык (например, русский), средствами которого можно описывать и определять все чисто арифметические свойства чисел. Рассмотрим определения, которые можно сформулировать на этом языке. Ясно, что некоторые термины, относящиеся к арифметическим свойствам, определить явным образом все равно не удастся, хотя, конечно, мы можем понимать смысл этих слов и без определений. Несущественно, какие именно термины принять за исходные; мы можем, например, считать, что мы понимаем смысл предложений «целое число делится на другое целое число», «целое число является произведением двух целых чисел» и т.п. Свойство быть простым числом тогда можно определить следующим образом: «не делится ни одно целое число, кроме самого себя и числа 1»; свойство быть точным квадратом: «быть произведением некоторого целого числа на то же число» и т.п.
Каждое такое определение состоит из конечного числа слов, а потому и из конечного числа букв алфавита. Поэтому мы можем ввести для таких словесных определений отношение порядка, считая одно определение предшествующим другому, если число букв, из которых состоит первое определение, меньше числа букв, составляющих второе определение. В тех же случаях когда два определения состоят из одного и того же числа букв, одно из них считать предшествующим другому в обычном лексикографическом (алфавитном, словарном) порядке. Исходя из такого упорядочения можно расположить все определения рассматриваемого вида в последовательность, сопоставив каждому из них единственное натуральное число – номер в этой же последовательности. Тогда самое короткое (и стоящее ранее других в алфавитном порядке) определение получит номе 1, следующее за ним – номер 2 и т.д.
Поскольку каждому определению сопоставлено некоторое натуральное число, то может оказаться, что в некоторых случаях число, сопоставленное какому-нибудь определению, само будет обладать определяемым свойством. Приведем пример. Пусть определяющее выражение «не делится ни на одно натуральное число, кроме самого себя и числа 1» оказалось в нашей последовательности на 17-м месте. Ясно, что сопоставленное ему число 17 само подпадает под это определение. Пусть, с другой стороны, определяющее выражение «быть произведением некоторого натурального числа на то же самое число» получило номер 15. само число 15, очевидно, не является точным квадратом и потому данным свойством не обладает. Назовем числа, не обладающие свойствами, определяемыми предложениями, которым они соответствуют в описанной выше нумерации, ришаровыми. Таким образом, «х – ришарово число» – это просто сокращенное выражение «х не обладает свойством, определяемым предложением, имеющим номер х в данной словарной последовательности определяющих предложений». Таким образом, число 17 в приведенном примере не является ришаровым, а число 15 является.
Теперь можно сформулировать парадокс Ришара. Определяющее выражение для свойства быть ришаровым числом описывает, очевидно, некоторое арифметическое свойство натуральных чисел. Значит, само определяющее выражение входит в описанную выше последовательность определяющих выражений. Но тогда оно имеет в этой последовательности некий номер. Обозначим его через n. Является ли число n ришаровым? Здесь неизбежно противоречие: число n является ришаровым в том и только в том случае, если оно не обладает свойством, описанном в предложении, которое имеет номер n, т.е. не обладает свойством быть ришаровым! Короче говоря, n ришарово тогда и только тогда, когда оно не ришарово, т.е. утверждение «n – ришарово» является одновременно и истинным и ложным.
Будьте внимательнее править
В тексте указана фраза, якобы определяющая некоторое число Ришара, а именно: "Вещественное число, у которого n-й десятичный знак равен 1...". Это выражение в первую очередь не является фразой русского языка, так что далее говорить не о чем. Оно скопировано из Мендельсона, где присутствует та же ошибка. Это же замечание относится и к предыдущему комментарию.04:03, 21 декабря 2012 (UTC)04:02, 21 декабря 2012 (UTC) 03:52, 21 декабря 2012 (UTC)
И где здесь парадокс? править
Вся эта сама фраза описывает гипотетическое число, которое может отличаться от некоторого числа заданным параметром - и оно вещественное. Скорее это описание функции, а не числа, поэтому эту фразу нужно бы было включать в другой семантический список.
VasilisaJ 21:28, 7 марта 2014 (UTC)