Оптимальный приём сигналов

Оптимальны́й приём сигна́лов — область радиотехники, в которой обработка принимаемых сигналов осуществляется на основе методов математической статистики.

История

По мнению В. И. Тихонова на возможность использования статистических методов в радиотехнике, по-видимому впервые, непосредственно указали работы А. Н. Колмогорова и Н. Винера по синтезу оптимальных линейных фильтров. В 1946 году В. А. Котельников в своей диссертации впервые сформулировал задачи оценки оптимальных параметров сигналов на фоне аддитивного гауссовского шума и нашёл их решения. В середине 1950-х годов были решены некоторые задачи оптимального приёма сигналов в каналах с флуктуационным шумом, неопределённой фазой и рэлеевскими замираниями.

В конце 1950-х и начале 1960-х годов стали развиваться

• оптимальные методы приёма стохастических пространственно-временных сигналов
• оптимальные методы приёма в каналах с флуктуационным шумом и селективными замираниями по частоте и времени

До начала 1960-х годов методы оптимальной обработки сигналов разрабатывались применительно к задачам радиотехники, в первую очередь касающимся радиолокации и связи. После методы оптимальной обработки стали применяться также и в других предметных областях, в частности гидроакустике, где помехи имеют более сложную структуру, чем в радиолокации. Кроме того, среда распространения гидроакустических колебаний существенно неоднородна. В результате развития теории оптимальной обработки сигналов с учётом гидроакустической специфики сформировалась теория оптимальной обработки гидроакустических сигналов, учитывающая неоднородный характер гидроакустической среды распространения колебаний и сложный характер помеховой обстановки.

Примерно с 1970-х годов начинали развиваться методы совместного различения сигналов и оценивания их параметров

Задачи

Задачами теории оптимального приёма сигналов являются обнаружение сигнала, различение сигналов, оценка параметров сигнала, фильтрация сообщений, разрешение сигналов и распознавание образов. Для их описания допустим, что принимаемый сигнал $r(t)$ представляет собой сумму сигнала $s(t,\lambda )$ и аддитивной помехи $n(t)$:

$r(t)=s(t,\lambda )+n(t)$,

где $\lambda$ — параметр сигнала $s(t,\lambda )$, который в общем случае является векторным, $n(t)$ — аддитивный белый гауссовский шум.

Используя это предположение, основные задачи теории оптимального приёма сигналов можно описать следующим образом.

Обнаружение сигнала

Допустим, что в принятом сигнале $r(t)$ может присутствовать или отсутствовать сигнал $s(t,\lambda )$, то есть принимаемый сигнал $r(t)$ равен$r(t)=\alpha s(t,\lambda )+n(t)$, где случайная величина $\alpha$ может принимать значения 0 (сигнал отсутствует) или 1 (сигнал присутствует); $s(t,\lambda )$ — наблюдаемый на интервале наблюдения [0, T] детерминированный сигнал. При решении задачи обнаружении сигнала необходимо определить наличие сигнала $s(t,\lambda )$ в $r(t)$, то есть оценить значение параметра $\alpha$. При этом возможны два варианта. Априорные данные — вероятности $p_{p}$$_{r}(t,\alpha =0)$ и $p_{p}$$_{r}(t,\alpha =1)$ — могут быть известны или нет.

Сформулированная задача обнаружения сигнала является частным случаем общей задачи статистической проверки гипотез. Гипотезу об отсутствии сигнала будем обозначать $H_{0}$, а гипотезу о наличии сигнала — $H_{1}$.

Если априорные вероятности $P_{pr}(H_{0})$ и $P_{pr}(H_{1})$ известны, то можно использовать критерий минимума среднего риска (байесовский критерий) $R$:

$R=\sum _{i,k=0}^{1}P_{pr}(H_{i})Q_{ik}\int \limits _{X_{k}}W(x|H_{i})dx$,

где {$Q_{ik}$} — матрица потерь, а $W(x|H_{i})$ — функция правдоподобия выборки наблюдаемых данных, если предполагается истинность гипотезы $H_{i}$.

В этом случае, если априорные вероятности $P_{pr}(H_{0})$ и $P_{pr}(H_{1})$ неизвестны, то с пороговым значением $h_{0}$ сравнивается отношение правдоподобия $l_{0}$:

$l_{0}={\frac {F(r|H_{1})}{F(r|H_{0})}}=exp({\frac {2}{N}}\int \limits _{0}^{T}r(t)s(t)dt-E/N)$,

где E — энергия сигнала, а N — односторонняя спектральная плотность гауссовского аддитивного белого шума. Если $l_{0}>h_{0}$, то принимаете гипотеза о наличии сигнала, иначе о его отсутствии на интервале наблюдения [$0,T$].

Если априорные вероятности $P(H_{0})$ и $P(H_{1})$ известны, то решение о наличии сигнала принимается на основе сравнения отношения апостериорных вероятностей $l_{1}$ с некоторым пороговым значением $h_{1}$:

$l_{1}={\frac {P_{ps}(H_{1})}{P_{ps}(H_{0})}}={\frac {P_{pr}(H_{1})}{P_{pr}(H_{0})}}exp({\frac {2}{N}}\int \limits _{0}^{T}r(t)s(t)dt-E/N)$.

Если $l_{1}>h_{1}$, то принимаете гипотеза о наличии сигнала, иначе о его отсутствии на интервале наблюдения [$0,T$].

Задача обнаружения часто встречается в радиолокации и других областях радиотехники.

Различение сигналов

Допустим, что в принятом сигнале $r(t)$ может присутствовать только один из двух сигналов $s_{1}(t,\lambda _{1})$ и $s_{2}(t,\lambda _{2})$ , то есть принимаемый сигнал $r(t)$ равен

$r(t)=\alpha s_{1}(t,\lambda _{1})+(1-\alpha )s_{2}(t,\lambda _{2})+n(t)$,

где $\alpha$ — случайная величина, которая может принимать значения 1 или 0. Если $\alpha =1$ , то в $r(t)$ с вероятностью $p_{1}$ присутствует сигнал $s_{1}(t,\lambda _{1})$ ; если $\alpha$=0 , то в $r(t)$ с вероятностью $p_{2}$ присутствует сигнал $s_{2}(t,\lambda _{2})$. В данном случае оценка параметра $\alpha$ является задачей различения двух сигналов. Задача различения более двух сигналов может быть сформулирована аналогично.

Если все кроме одного сигнала нулевые, то задача различения сигналов сводится к задаче обнаружения сигнала.

Задача различения сигналов часто встречается в радиосвязи и других областях радиотехники.

Оценка параметров сигнала

Если параметр сигнала $\lambda$ — случайная величина с априорной плотностью вероятности, то задачей оценки параметра сигнала является определение значения этого параметра с наименьшей погрешностью. Если требуется оценить несколько параметров сигнала, то такая задача называется совместной оценкой параметров сигнала.

Оценка параметров сигнала часто возникает в радиолокации, радионавигация и других областях радиотехники.

Фильтрация сообщений

Если параметр сигнала $\lambda$ случайно меняется на интервале наблюдения и является информационным сообщением $\lambda (t)$, то есть случайным процессом с известными статистическими характеристиками, то задачей фильтрации является определение $\lambda (t)$ с наименьшей погрешностью. В общем случае информационных сообщений может быть несколько.

Задача фильтрации часто возникает в радиосвязи и телеметрии.

Разрешение сигналов

Задача разрешения сигналов подразумевает одновременное наличие в аддитивной смеси двух или более сигналов, разделяющих один и тот же частотный и временной ресурс. Разрешением в данных условиях будет называться оценка дискретных и непрерывных параметров каждого из сигналов, входящих в смесь.

Распознавание образов

При распознавании образов выявляется принадлежность рассматриваемого объекта (предмета, явления, сигнала и др.) к одному из заранее известных классов.

Литература

• Перов А. И. (д.т.н). Статистическая теория радиотехнических систем / Рецезенты: д.т.н. профессор Юдин В.Н., к.т.н. профессор Бонч-Бруевич А. М.. — Учебник для ВУЗов. — М.:: Радиотехника, 2003. — 400 с. — ISBN 5-93108-047-3.
• Тихонов В. И. Оптимальный приём сигналов / Под ред. А. Б. Васильева (Рецензенты: доктор технических наук, профессор — И.Н. Амиантов, доктор технических. наук проф. Б. Н. Митящев). — М.: Радио и связь, 1983. — 320 с.
• Трифонов А. П., Нечаев Е.П., Парфёнов В.И. Обнаружение стохастических сигналов с неизвестными параметрами / Под ред. А. П. Трифонова (Рецензенты: ). — монография. — Воронеж: Воронежский государственный университет, 1991. — 246 с. — ISBN 5-7555-9278.
• Фалькович. С.Е. Оценка параметров сигнала. — монография. — Москва: Советское радио, 1970. — 336 с.