Осцилляции Зенера — Блоха

Осцилляции Зенера — Блоха — колебания частицы, движущейся в периодическом потенциале, под действием постоянной силы. Примером системы, в которой могут реализоваться такие колебания, является кристаллическое твердое тело. В реальных кристаллах создать условия для наблюдения осцилляций Зенера — Блоха трудно, однако они наблюдались в искусственных системах, например, сверхрешётках.

Кларенс Зенер рассмотрел такие колебания для электронов кристалла во внешнем электрическом поле. Феликс Блох обобщил теорию на случай любых частиц и любых сил.

Квазиклассическое рассмотрение

Если пренебречь межзонными переходами электронов в присутствии внешнего электрического поля $\mathbf {E}$, то перемещения электрона в k-пространстве полностью определяется вторым законом Ньютона:

$\hbar \;{\frac {dk}{dt}}=-e\mathbf {E}$.

Где $e$ —- элементарный заряд (в этих обозначениях заряд электрона равен $-e=-1,6\cdot 10^{-19}$ Кл). При отсутствии столкновений электрон проходит во всей первой зоне Бриллюэна, отражается от её границы, снова пересекает зону, и вновь отражается на границе. В результате такое движение электрона в зоне под действием постоянного электрического поля имеет характер осцилляций в $\mathbf {k}$-пространстве, а значит и в обычном пространстве. Эти осцилляции получили название осцилляций Зенера (частичный случай электрического поля) и Блоха (общий случай действия потенциального поля какой-либо природы).

Пусть поле $\mathbf {E}$ направлено вдоль вектора обратной решётки $\mathbf {K}$, определяющий положение границы зоны Бриллюэна, отражающей электроны. За одну осцилляцию электрон проходит расстояние $K$. Если $K={\frac {2\pi }{a}}$, где $a$ — постоянная решетки, то циклическая частота равна:

$\omega _{z}={\frac {eEa}{\hbar \;}}$.

Поскольку $a\approx \;3$A, для поля $2\cdot 10^{6}$ В/м, то частота составляет около $10^{13}$ Гц. Осцилляции ограничены в пространстве. В такой ситуации потенциал возмущения $e\mathbf {E} \mathbf {r}$ видоизменяет энергетические уровни в зоне. И состояния, энергия которых отличается на величину $eEa$ изменяют энергии вдоль краёв зоны. Равные энергии создают т. н. штарковскую лестницу, названную так, поскольку её возникновение напоминает эффект Штарка в атомной физике. Ясно, что амплитуда $L_{z}$, пространственных осцилляций определяется шириной зоны $W_{b}$:

$L_{z}={\frac {W_{b}}{2eE}}$

Так как на элементарную ячейку приходится одно состояние, то общее количество осцилляций остаётся неизменной величиной, однако интервалы между соседними уровнями энергии остаются конечными и одинаковыми.

Квантовая теория

Волновая функция электрона в состоянии Зенера — Блоха, очевидно отличается от бегущей волны, поскольку $\mathbf {k}$ уже не является хорошим квантовым числом. Рассматривая приложенный потенциал, как возмущение, находим:

${\big (}H_{0}^{*}-e\mathbf {E} \cdot \mathbf {r} {\big )}\psi _{z}=E_{z}\psi _{z}$-

$\psi _{z}=V^{-{\frac {1}{2}}}\sum _{\mathbf {k} }^{\propto }\;c_{k}\phi _{k}(\mathbf {r} )$

где $\psi _{k}(\mathbf {r} )$ — зонные функции Блоха, ${\hat {H}}_{0}^{*}=p^{2}/2m^{*}$. Теория возмущений даёт

$c_{k'}=\sum _{\mathbf {k} }^{\propto }\;{\frac {c_{k}\left\langle \mathbf {k'} |-eE\mathbf {r} |\mathbf {k} \right\rangle }{W_{z}-W_{k'}}}$.

Матричный элемент удобнее всего вычислять учитывая

$\mathbf {r} \exp(i\mathbf {k} \mathbf {r} )=-i\nabla _{k}\exp(i\mathbf {k} \mathbf {r} )$.

Переходя от суммирования по $\mathbf {k}$ к интегрированию с помощью соотношения

$\sum _{\mathbf {k} }\;\to \int _{}^{}{\frac {V}{8\pi ^{3}}}\,d\mathbf {k}$,

и интегрируя по частям, используя свойство ортогональности плоских волн, получаем:

$\sum _{\mathbf {k} }^{\propto }\;c_{k}\left\langle \mathbf {k'} |-e\mathbf {E} \mathbf {r} |\mathbf {k} \right\rangle =-e\mathbf {E} \Delta _{k}c_{k}\delta _{kk'}$-

откуда находим производные

${\frac {dc_{k}}{d\mathbf {k} }}={\frac {i(W_{z}-W_{k})c_{k}}{eE}}$,

как и

$c_{k}=c_{0}\exp \left\lbrace \int _{}^{}{\frac {i(W_{z}-W_{k})}{eE}}\,d\mathbf {k} \right\rbrace$.

Для того, чтобы периодичность волновой функции сохранялась, функция $c_{k}$ должна быть периодической. Если положить

$W_{k}=W_{0}+W(\mathbf {k} ),$

где $W_{k}=W_{0}$ — энергия центра зоны, то с условия периодичности вытекает равенство энергий

$W_{z}-W_{0}=e\mathbf {E} n'(\mathbf {a} ),$

где $n'$ — целое число, а $\mathbf {a}$ — вектор элементарной ячейки. В результате, состояние, которому отвечает собственное значение $W_{z}$, локализовано в пространстве у элементарной ячейки, расположенной в точке $n'\mathbf {a}$, откуда полагая $n'\mathbf {a} =\mathbf {r}$, находим

$c_{k}=c_{0}\exp \left\lbrace -i{\big (}\mathbf {k} \mathbf {r_{0}} \int _{}^{}{\frac {iW_{k}}{eE}}\,d\mathbf {k} {\big )}\right\rbrace$.

Волновые функции Блоха здесь принимают вид

$\psi _{z}=V^{-1/2}c_{0}\sum _{\mathbf {k} }^{\propto }\;u_{k}(\mathbf {r} )\exp \left\lbrace i\int _{}^{}{\frac {W(\mathbf {k} )}{eE}}\,d\mathbf {k} -i\mathbf {k} (\mathbf {r_{0}-r} )\right\rbrace .$

Теперь можно использовать простую модель, описывающую зону по направлению поля $\mathbf {E}$:

$W\mathbf {k} =-{\frac {W_{b}}{2}}\cos ka$

$-{\frac {\pi }{a}}<k<{\frac {\pi }{a}},$

где $W_{b}$ — ширина зоны. Далее предполагаем, что функция $u_{k}(\mathbf {r} )$ от $\mathbf {k}$. Тогда

$\psi _{z}=V^{-1/2}c_{0}u(\mathbf {r} )\sum _{\mathbf {k} }^{\propto }\;\exp \left\lbrace -{\frac {iW_{b}\sin {ka}}{2eEa}}-i\mathbf {k} \mathbf {r_{0}-r} \right\rbrace =$

$=c_{0}u(\mathbf {r} )J_{n}({\frac {W_{b}}{2eEa}}),\quad n=(x_{0}-x)/a,$

где $J_{n}(z)$ — функция Бесселя, $n$ — целое число, а поле направлено вдоль оси $x$. У точки $x=x_{0}$ функция $J_{n}(z)$ ведет себя подобно стоящей волны с волновым вектором величины $\pi /2a$, то есть длина волнового вектора ровная половине расстоянии от центра зоны Бриллюэна к его границе. Когда $|x_{0}-x|\gg \,a$, асимптотическое разложение даёт

$J_{n}\left({\frac {W_{b}}{2eEa}}\right)\approx \;{\frac {(-1)^{|x_{0}-x|/a}}{(2\pi |x_{0}-x|/a)^{1/2}}}\left({\frac {e_{n}L_{z}}{2|x_{0}-x|}}\right)^{|x_{0}-x|/a}$,

где $L_{z}$ — классическая амплитуда пространственных осцилляций, а $e_{n}$ — основание натуральных логарифмов. Ясно, что при $|x_{0}-x|>e_{n}L_{z}/2$ волновая функция очень быстро затихает. Она уменьшается при $|x_{0}-x|\rightarrow 0$, достигая максимума в точке $|x_{0}-x|=L_{z}/2$. Поведение этой волновой функции качественно напоминает поведение гармоничного осцилятора — она растет у концов отрезка, соответствующие классическим точкам поворота. С тем, чтобы наблюдать это явление необходимо удовлетворить условия

$\omega _{z}\tau >1,$

где $\tau$ — время между столкновениями. Обычно расчет времени $\tau$ проводят для состояний, близких к краям зоны. Типичные значения $\tau$ около $10^{-13}$ с. В результате, электрон который осуществляет колебания Зинера — Блоха, большую часть времени находится около краёв зоны, и потому разумно принять оценку времени около $10^{-13}$. Для этой цели необходимо создать поля, которые превысят $2\cdot 10^{6}$ В/м. Во многих случаях такое сильное поле может привести к пробою полупроводника.

См. также

• Квантовый осциллятор
• Осцилляции Блоха