Открыть главное меню

Парадокс Бурали-Форти демонстрирует, что предположение о существовании множества всех порядковых чисел ведёт к противоречиям и, следовательно, противоречивой является теория множеств, в которой построение такого множества возможно.

ФормулировкаПравить

В математической литературе встречаются различные формулировки, опирающиеся на разную терминологию и предполагаемый набор известных теорем. Вот одна из возможных формулировок.

Можно доказать, что если   — произвольное множество порядковых чисел, то множество-сумма   есть порядковое число, большее или равное каждому из элементов  . Предположим теперь, что   — множество всех порядковых чисел. Тогда   — порядковое число, большее или равное любому из чисел в  . Но тогда и   — порядковое число, причём уже строго большее, а значит, и не равное любому из чисел в  . Но это противоречит условию, по которому   — множество всех порядковых чисел.

ИсторияПравить

Парадокс был обнаружен Чезаре Бурали-Форти (англ.) в 1897 году и оказался одним из первых парадоксов, показавших, что наивная теория множеств противоречива, а следовательно, непригодна для нужд математики. Несуществование множества всех порядковых чисел противоречит концепции наивной теории множеств, разрешающей построение множеств с произвольным свойством элементов, то есть термов вида «множество всех   таких, что  » ( ).

Современная аксиоматическая теория множеств накладывает строгие ограничения на вид условия  , с помощью которого можно образовывать множества. В аксиоматических системах типа Гёделя — Бернайса позволяется образование терма   для произвольных  , но с оговоркой, что он может оказаться не множеством, а классом.

См. такжеПравить

ЛитератураПравить