Параллельные плоскости

(перенаправлено с «Параллельность плоскостей»)

ОпределениеПравить

КлассическоеПравить

Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек. (Иногда совпадающие плоскости тоже считают параллельными, что упрощает формулировку некоторых теорем).

АналитическоеПравить

Если плоскости   и   параллельны, то нормальные векторы   и   коллинеарны (и обратно). Поэтому условие

 [1] есть необходимое и достаточное условие параллельности или совпадения плоскостей.

СвойстваПравить

  • Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны;
  • Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну;
  • Отрезки параллельных прямых, ограниченные двумя параллельными плоскостями, равны;
  • Два угла с соответственно параллельными и одинаково направленными сторонами равны и лежат в параллельных плоскостях.

ПризнакПравить

  • Если плоскость α параллельна каждой из двух пересекающихся прямых, лежащих в другой плоскости β, то эти плоскости параллельны.

ПримерыПравить

  • Плоскости   и   параллельны, так как  .
  • Плоскости   и   непараллельны, так как  , а  .

ЗамечаниеПравить

Если не только коэффициенты при координатах, но и свободные члены пропорциональны, то есть если  [2] то плоскости совпадают. Так уравнения   и   представляют одну и ту же плоскость.

ПримечанияПравить

  1. при  . Если  , то  . Аналогично при   или  .
  2. при  . Если  , то  . Аналогично при   или  .