Параллельные плоскости

(перенаправлено с «Параллельность плоскостей»)

Классическое определениеПравить

Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек. (Иногда совпадающие плоскости тоже считают параллельными, что упрощает формулировку некоторых теорем)

Свойства

  • Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны
  • Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну
  • Отрезки параллельных прямых, ограниченные двумя параллельными плоскостями, равны
  • Два угла с соответственно параллельными и одинаково направленными сторонами равны и лежат в параллельных плоскостях

Признак

  • Если плоскость α параллельна каждой из двух пересекающихся прямых, лежащих в другой плоскости β, то эти плоскости параллельны

Аналитическое определениеПравить

Если плоскости

  и  

параллельны, то нормальные векторы   и   коллинеарны (и обратно). Поэтому условие

 [1] есть необходимое и достаточное условие параллельности или совпадения плоскостей.

Пример 1Править

Плоскости   и   параллельны, так как  

Пример 2Править

Плоскости   и   непараллельны, так как  , а  
Замечание. Если не только коэффициенты при координатах, но и свободные члены пропорциональны, то есть если
 [2] то плоскости совпадают. Так уравнения   и   представляют одну и ту же плоскость.

ПримечанияПравить

  1. при  . Если  , то  . Аналогично при   или  .
  2. при  . Если  , то  . Аналогично при   или  .