Периодическое состояние

Периоди́ческое состоя́ние — это такое состояние цепи Маркова, которое навещается цепью только через промежутки времени, кратные фиксированному числу.

Период состояния

Пусть дана однородная цепь Маркова с дискретным временем $\{X_{n}\}_{n\geq 0}$ с матрицей переходных вероятностей $P$. В частности, для любого $n\in \mathbb {N}$, матрица $P^{n}=\left(p_{ij}^{(n)}\right)$ является матрицей переходных вероятностей за $n$ шагов. Рассмотрим последовательность $p_{jj}^{(n)},\,n\in \mathbb {N}$. Число

$d(j)=\gcd \left(n\in \mathbb {N} \mid p_{jj}^{(n)}>0\right)$,

где $\gcd$ обозначает наибольший общий делитель, называется пери́одом состояния $j$.

Замечание

Таким образом, период состояния $j$ равен $d(j)$, если из того, что $p_{jj}^{(n)}>0$, следует, что $n$ делится на $d(j)$.

Периодические состояния и цепи

• Если $d(j)>1$, то состояние $j$ называется периоди́ческим. Если $d(j)=1$, то состояние $j$ называется апериоди́ческим.

• Периоды сообщающихся состояний совпадают:

$(i\leftrightarrow j)\Rightarrow (d(i)=d(j))$.

Таким образом период любого неразложимого класса цепи Маркова определён и равен периоду любого своего представителя. Соответственно, классы делятся на периодические и апериодические.

• Если цепь Маркова неразложима, то периоды всех её состояний совпадают и принимаемое ими общее значение называется периодом цепи. Цепь называется периодической, если её период больше единицы, и апериодической в противном случае.