Порядок Деорнуа

Порядок Деорнуа — определённый левоинвариантный линейный порядок на группе кос.

Патрик Деорнуа, первооткрыватель порядка Деорнуа

Определение

Имеется множество различных подходов к определению порядка Деорнуа. Наиболее элементарный состоит в следующем.

Общий вид положительной по Деорнуа косы

Обозначим символами $\sigma _{1},\sigma _{2},\ldots ,\sigma _{n-1}$ образующие Артина группы кос $B_{n}$ из $n$ нитей. Коса называется положительной по Деорнуа (или $\sigma$-положительной), если она может быть задана таким непустым артиновским словом, что образующая Артина $\sigma _{k}$ с наименьшим (среди присутствующих в слове) индексом $k$ входит в него только в положительных степенях. Аналогично определяются отрицательные по Деорнуа косы (или $\sigma$-отрицательные).

Например, коса $\beta =\sigma _{1}^{-1}\sigma _{2}\sigma _{1}$ допускает запись $\beta =\sigma _{2}\sigma _{1}\sigma _{2}^{-1}$, поэтому является положительной по Деорнуа.

По определению порядка Деорнуа, коса $\alpha$ из $n$ нитей меньше косы $\beta$ из того же числа нитей, что обозначается символом $\alpha \leqslant \beta$ или $\alpha \leqslant _{n}\beta$, если либо $\alpha =\beta$, либо произведение $\alpha ^{-1}\beta$ косы $\alpha ^{-1}$, обратной к косе $\alpha$, и косы $\beta$ является положительной по Деорнуа. Во втором случае при обозначении используется строгое неравенство: $\alpha <\beta$ или $\alpha <_{n}\beta$.

Например, для любой положительной по Деорнуа косы $\beta$ выполняется следующая цепочка неравенств:

$\ldots <\beta ^{-2}<\beta ^{-1}<1<\beta <\beta ^{2}<\ldots$.

Кроме того, в группе кос $B_{n}$ выполняются неравенства:

$1<\sigma _{n-1}<\sigma _{n-1}^{2}<\sigma _{n-1}^{3}<\ldots <\sigma _{n-2}<\sigma _{n-2}^{2}<\sigma _{n-2}^{3}<\ldots \ldots <\sigma _{2}<\sigma _{2}^{2}<\sigma _{2}^{3}<\ldots <\sigma _{1}<\sigma _{1}^{2}<\sigma _{1}^{3}<\ldots$

Свойства

Множество положительных по Деорнуа кос из заданного числа $n$ нитей является положительным конусом на группе кос $B_{n}$. Иными словами, выполняются следующие свойства:

1. Любая $\sigma$-положительная коса нетривиальна (ацикличность);
2. Любая нетривиальная коса является либо $\sigma$-положительной, либо $\sigma$-отрицательной (свойство сравнения).

Таким образом, для каждого числа нитей $n\in \mathbb {N}$ отношение $\leqslant _{n}$ является левоинвариантным линейным порядком на группе $B_{n}$.

Например, порядок Деорнуа на бесконечной циклической группе $B_{2}\cong \mathbb {Z}$ изоморфен стандартному линейному порядку на множестве целых чисел.

Глобальные свойства

Порядок Деорнуа не имеет ни максимальных, не минимальных элементов. Так, из неравенств $\sigma _{1}^{-1}<1<\sigma _{1}$ для любой косы $\beta$ следуют неравенства $\beta \sigma _{1}^{-1}<\beta <\beta \sigma _{1}$.

Коса $\sigma _{n-1}$ является наименьшим положительным по Деорнуа элементом группы $B_{n}$. Таким образом, упорядоченное множество $(B_{n},\leqslant )$ является дискретным. А именно, непосредственным преемником косы $\beta \in B_{n}$ является коса $\beta \sigma _{n-1}$, а непосредственным предшественником — коса $\beta \sigma _{n-1}^{-1}$.

При $n\geq 3$ упорядоченная группа $(B_{n},\leqslant )$ не является архимедовой. Иными словами, существуют такие $\alpha ,\beta >1$, что неравенство $\alpha ^{p}<\beta$ выполняется для любого $p\in \mathbb {N}$. Например, $1<\sigma _{2}^{p}<\sigma _{1}$.

При $n\geq 3$ упорядоченная группа $(B_{n},\leqslant )$ не является конрадовой. Иными словами, существуют такие $\alpha ,\beta >1$, что неравенство $\alpha \beta ^{p}<\beta$ выполняется для любого $p\in \mathbb {N}$. Например, данное неравенство выполняется при $\alpha =\sigma _{2}^{-2}\sigma _{1}$ и $\beta =\sigma _{2}^{-1}\sigma _{1}$.

Локальные свойства

Порядок Деорнуа в общем случае не является правоинвариантным. Так, неравенство $\alpha <\beta$ не обязательно влечет неравенство $\alpha \gamma <\beta \gamma$. Например, в группе $B_{3}$ при $\beta =\sigma _{1}\sigma _{2}^{-1}$ и $\gamma =\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{1}$ имеем $1<\beta$ и $\beta \gamma <\gamma$.

Последнее неравенство также эквивалентно неравенству $\gamma ^{-1}\beta \gamma <1$. В частности, коса, сопряженная к положительной по Деорнуа косе, может быть отрицательной по Деорнуа.

При сопряжении положительных кос, однако, свойство положительности по Деорнуа сохраняется. А именно, порядок Деорнуа обладает так называемым свойством подслова, которое заключается в том, что все косы вида $\beta ^{-1}\sigma _{i}\beta$ положительны по Деорнуа. Или, что то же самое, выполняется неравенство $\beta <\sigma _{i}\beta$. В частности, любая квазиположительная коса положительна по Деорнуа.

Неравенство $\alpha <\beta$ не обязательно влечет неравенство $\alpha ^{-1}<\beta ^{-1}$. Например, в группе $B_{3}$ при $\alpha =\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{1}$ и $\beta =\sigma _{2}^{2}\sigma _{1}$ обе косы $\alpha ^{-1}\beta =\sigma _{1}\sigma _{2}^{-1}$ и $\alpha \beta ^{-1}=\sigma _{1}\sigma _{2}^{-1}$ являются положительными по Деорнуа.

Количество положительных букв в артиновском слове в общем случае не коррелирует с порядком Деорнуа. Так, существует такая коса $\beta$, содержащая хотя бы одну букву $\sigma _{1}$ и являющаяся положительной по Деорнуа, что для любого $p\in \mathbb {N}$ коса $\beta ^{p}$, допускающая запись из хотя бы $p$ букв $\sigma _{1}$, строго меньше (в порядке Деорнуа) косы $\sigma _{1}$, содержащей всего одну такую букву. Примером такой косы является $\beta =\sigma _{2}^{-1}\sigma _{1}$.

Антье Деорнуа

Отсутствие при $n\geq 3$ свойства архимедовости порядка Деорнуа на группе кос $B_{n}$ означает, что существует такая коса $\alpha \in B_{n}$, что попарно непересекающиеся интервалы

$\{\beta \in B_{n}\mid \alpha ^{p}\leqslant \beta <\alpha ^{p+1}\}$,

где $p\in \mathbb {Z}$, не покрывают всю группу $B_{n}$. Тем не менее, если $\alpha =\Delta _{n}^{2}$ — центральная коса, то подобные интервалы образуют разбиение группы кос.

Такое единственное $p\in \mathbb {Z}$, что выполняется неравенство

$\Delta _{n}^{2p}\leqslant \beta <\Delta _{n}^{2(p+1)}$,

называется антье Деорнуа косы $\beta \in B_{n}$ и обозначается символами $\lfloor \beta \rfloor _{\leqslant }$ или $\lfloor \beta \rfloor _{D}$.

Антье Деорнуа задаёт функцию $B_{n}\to \mathbb {Z}$ и является квазихарактером на группе кос, дефект которого равен единице. Иными словами, для любых $\alpha ,\beta \in B_{n}$ выполняются неравенства:

$\lfloor \alpha \rfloor _{D}+\lfloor \beta \rfloor _{D}-1\leq \lfloor \alpha \beta \rfloor _{D}\leq \lfloor \alpha \rfloor _{D}+\lfloor \beta \rfloor _{D}+1$.

Литература

• Кассель, К., Тураев, В. Г. Группы кос = Braid groups (рус.) / пер. с англ. С. Н. Малыгина. — М.: МЦНМО, 2014. — 424 с. — ISBN 978-5-4439-0245-6.
• Dehornoy, P., Dynnikov, I., Rolfsen, D., Wiest, B. Ordering braids (англ.). — Providence, R. I.: American Mathematical Society, 2008. — Vol. 148. — 323 p. — (Mathematical Surveys and Monographs). — ISBN 978-0-8218-4431-1.

Ссылки

• Малютин, А. В. Закрученность (замкнутых) кос // Алгебра и анализ. — 2004. — Т. 16, вып. 5. — С. 59—91.