Открыть главное меню

Правила Фейнмана

Правила Фе́йнмана в квантовой теории поля — правила соответствия между вкладами определенного порядка теории возмущений в матричные элементы матрицы рассеяния и диаграмм Фейнмана. Регулярный вывод правил Фейнмана основан на применении теоремы Вика для хронологических произведений к хронологическим произведениям полевых операторов, через интегралы от которых выражаются вклады в матрицу рассеяния. В правилах Фейнмана центральную роль играют пропагаторы квантовых полей, равные их хронологическим спариваниям, то есть вакуумным ожиданиям от парных хронологических произведений:

которые также равны причинным функциям Грина этих полей:

Наряду с пропагаторами , которым в диаграммах Фейнмана соответствуют линии, соединяющие точки х и у, и которые полностью характеризуют взаимодействующие поля, правила Фейнмана включают элементы, описывающие механизм взаимодействия и отражающие структуру лагранжиана взаимодействия рассматриваемой квантовополевой модели.

Существуют две разновидности правил Фейнмана

  1. правила в координатном представлении, на основе которых можно сопоставить диаграммы вкладам в S-матрицу, выраженным через операторные полевые функции
  2. более полезными оказываются правила Фейнмана в импульсном представлении, которые служат непосредственно для построения матричных элементов переходов между физ. состояниями, характеризуемыми наряду с прочими квантовыми числами значениями 4-импульсов частиц.

В дальнейшем термином «правила Фейнмана» будем называть именно правила Фейнмана в импульсном представлении.

В этом представлении вместо вышеприведенных выражений используют их фурье-образы , которым на диаграмме Фейнмана соответствуют внутренние линии, по которым как бы движутся частицы с импульсом р. Места встречи линий — вершины — описывают взаимодействия частиц. Поэтому, согласно правилам Фейнмана, вершинам отвечают множители в матричных элементах, передающие структуру лагранжианов взаимодействия. В качестве иллюстрации в таблице приведены правила соответствия для квантовой электродинамики в диагональной (иначе фейнмановской) калибровке электромагнитного поля.

Правила Фейнмана для квантовой электродинамки
Элементы Диаграммы Фактор в S-матричном элементе
название изображение
1 Вершина Image1 for table1 feynmann diagramm.PNG
2 Внутренняя фотонная линия Image2 for table1 feynmann diagramm.PNG
3 Внутренняя электронно-позитронная линия Image6 for table1 feynmann diagramm.svg
4 Внешняя фотонная линия Image4 for table1 feynmann diagramm.PNG
5 Внешняя выходящая электронная линия Image5 for table1 feynmann diagramm.PNG
6 Внешняя выходящая линия Image6 for table1 feynmann diagramm.svg
7 для построения вклада n-го порядка по e в матричный элемент заданного процесса следует нарисовать все диаграммы, содержащие ровно n вершин, соединяющие их внутренние линии и заданный набор внешних линий, определяемый суммарно начальным и конечным состоянием рассматриваемого процесса. При этом следует иметь в виду, что направления, указанные стрелками на электронных линиях, отвечают движению позитрона против направления стрелок
8 каждой из этих диаграмм по правилам соответствия из табл. путём перемножения факторов из правой колонки, упорядоченных по движению вдоль электронных линий, ставится в соответствие выражение, которое затем должно быть проинтегрировано по 4-импульсам и просуммировано по всем индексам всех внутр. линий;
9 если в диаграмме имеется замкнутых электронных петель, то всё выражение должно быть умножено на (— 1)l
10 если в диаграмме имеется топологическая симметрия k-го порядка, то есть можно переставить k вершин, не изменив топологию диаграммы, то следует добавить множитель (k!)−1
11 если в начальном или конечном состоянии имеются тождественные частицы, то следует провести соответствующую симметризацию.

Выражение, стоящее в первой строке таблицы правил соответствия, отвечает структуре лагранжиана взаимодействия , за исключением множителя , который учитывает тот факт, что вклад n-го порядка в S-матрицу содержит множитель :

Две следующие строчки содержат пропагаторы полей, а затем в правилах соответствия фигурируют вектор поляризации фотона и неквантованные дираковские спиноры , являющиеся решениями свободного уравнения Дирака и отвечающие электронам (и/или позитронам) в начальном и конечном состояниях.

Пример примененияПравить

Пользуясь приведёнными правилами Фейнмана, получим матричный элемент процесса е → е (то есть мёллеровского рассеяния электронов) в низшем, втором по e, порядке теории возмущений. Единственной диаграммой оказывается диаграмма, приведённая на рис. 6. Используя введённые на этом рисунке импульсные обозначения, положим, что импульсы электронов в начальном состоянии равны p1 и р2, а электроны конечного состояния обладают импульсами — q1 , q2 (при этом, разумеется, q10 < 0, q20 < 0). Используя правила (1), (2), (5), (6) и (8), находим:

  

Согласно правилу (11), это выражение следует ещё антисимметризовать по электронам начального и конечного состояний.

Из релятивистской квантовой теории поля метод диаграмм Фейнмана и правила Фейнмана непосредственно переносится в квантовую статистику при нулевой температуре и без труда формулируется для теории возмущений при конечной температуре.

См. такжеПравить

ЛитератураПравить

  • Feynman R. P. Space-time approach to quantum electrodynamics // Phys. Rev., 1949, v. 76, p. 769
  • Фейнман Р. Квантовая электродинамика / Пер. с англ. — М., 1964 djvu-формат книги
  • Биленький С. М. Введение в диаграммную технику Фейнмана. — М., 1971
  • Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В. Квантовые поля. — 2-е изд. — М., 1993.