Преобразование Вигнера — Вилла

Преобразование Вигнера — Вилла (англ. Wigner — Ville transform) — один из эффективных методов спектрально-временного анализа нестационарных сигналов[1][2][3][4]. Встречаются другие названия: преобразование Вигнера — Вилля, распределение Вигнера — Вилла (англ. Wigner — Ville distribution), распределение Вигнера — Вилля, функция Вигнера.

ВычислениеПравить

 

Распределение   может принимать только действительные значения (включая отрицательные).

Несмотря на высокое разрешение как по частоте, так и по времени, распределение может порождать побочные частотные компоненты[3][4], затрудняющие анализ сигнала. Это связано с нелинейностью преобразования.

Существует несколько методов, позволяющих уменьшить интенсивность побочных компонент, используя определённые процедуры усреднения. Один из них − использование окна h(t) во временной области. В результате получается так называемое псевдопреобразование Вигнера[2][3][4]:

 

Если окно прямоугольное:

 

то при   псевдопреобразование Вигнера переходит в обычное преобразование Вигнера — Вилла. При уменьшении t0 интенсивность побочных спектральных компонент снижается, плата за это — ухудшение частотного разрешения.

При анализе оцифрованного сигнала псевдопреобразование Вигнера удобнее вычислять с помощью быстрого преобразования Фурье (БПФ) в скользящем окне[3]. Для этого перед вычислением процедуры БПФ выборку из сигнала s[n], выделенную скользящим окном размером Nwin отсчетов, преобразуют по следующему алгоритму:

если размер окна нечётный, то

 

для четного размера окна

 

чтобы результат процедуры БПФ получился действительным, необходимо перед её вычислением выполнить циклическую перестановку полученного сигнала s1[n] влево на (Nwin−1)/2 (если Nwin — нечётное) или на Nwin/2-1 (если Nwin — четное).

При построении вычисленного спектрально-временного распределения все значения на шкале частот следует разделить на 2

Пример использованияПравить

Для иллюстрации метода пригодна бесплатная компьютерная программа PSE Lab[5].

Результат построения спектрально-временного распределения для сигнала, смоделированного на компьютере:

 

состоящего из двух ЧМ компонент, мгновенная цифровая частота одной из них меняется по синусоидальному закону в диапазоне от 0 до 0,1, а другой — от 0 до 0,2, приведены на рисунках.

 
Рис. 1. Распределение Вигнера — Вилла (размер окна = 500 отсчетов).
 
Рис. 2. Спектрограмма (размер окна = 500 отсчетов).
 
Рис. 3. Распределение Вигнера — Вилла (размер окна = 2000 отсчетов).

На рис. 1 представлено спектрально-временное распределение энергии, полученное с помощью псевдопреобразования Вигнера c размером окна Nwin=500 отсчетов. По оси абсцисс отложено время (увеличивается слева-направо), по оси ординат — цифровая частота. Более темные участки распределения соответствуют большей интенсивности.

Для сравнения, на рис. 2 представлена Фурье-спектрограмма, вычисленная с таким же размером окна.

Качественно можно видеть, что спектрально-временное распределение Вигнера — Вилла (рис. 1) имеет более высокое частотно-временное разрешение, по сравнению со спектрограммой (рис. 2).

При увеличении размера окна количество и интенсивность побочных частотных компонент в распределении Вигнера — Вилла увеличиваются, что может осложнить анализ основных частотных компонент (рис. 3).

ПримечанияПравить

ЛитератураПравить

СсылкиПравить