Признак Лобачевского

Признак Лобачевского — признак сходимости числового ряда, предложенный Лобачевским между 1834 и 1836.

Формулировка

Пусть $(a_{n})$ есть убывающая последовательность положительных чисел, тогда ряд

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$

сходится или расходится одновременно с рядом

$\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {N_{m}}{2^{m}}}$

где $N_{m}$ — наименьшее целое, такое что $a_{N_{m}}\leq {\frac {1}{2^{m}}}$.

Примеры

• Для гармонического ряда $a_{n}={\tfrac {1}{n}}$ имеем $N_{m}=2^{m}$, таким образом ${\frac {N_{m}}{2^{m}}}=1$ и значит второй ряд расходится. Согласно признаку Лобачевского расходится и первый.

Литература

• Лобачевского признак — статья из Математической энциклопедии