Открыть главное меню

Признак сравнения

Признак сравнения — утверждение об одновременности расходимости или сходимости двух рядов, основанный на сравнении членов этих рядов.

ФормулировкаПравить

Пусть даны два знакоположительных ряда:

  и  

.

Тогда, если, начиная с некоторого места ( ), выполняется неравенство:

 ,

то из сходимости ряда   следует сходимость  .

Или же, если ряд   расходится, то расходится и  .

ДоказательствоПравить

Обозначим   частные суммы ряда  . Из неравенств   следует, что   Поэтому из ограниченности   вытекает ограниченность   а из неограниченности   следует неограниченность   Справедливость признака вытекает из критерия сходимости для  


Признак сравнения отношенийПравить

Также признак сравнения можно сформулировать в более удобной форме — в виде отношений.

ФормулировкаПравить

Если для членов строго положительных рядов   и  , начиная с некоторого места ( ), выполняется неравенство:

 ,

то из сходимости ряда   следует сходимость  , а из расходимости   следует расходимость  .

ДоказательствоПравить

Перемножая неравенства, составленные для  , получаем

  или  

Дальше достаточно применить признак сравнения для положительных рядов   и   (и учесть, что постоянный множитель не влияет на сходимость).


Предельный признак сравненияПравить

Поскольку достоверно установить справедливость этого неравенства при любых n — довольно сложная задача, то на практике признак сравнения обычно используется в предельной форме.

ФормулировкаПравить

Если   и   есть строго положительные ряды и

 ,

то при   из сходимости   следует сходимость  , а при   из расходимости   следует расходимость  .

ДоказательствоПравить

Из   мы знаем, что для любого   существует   такое, что для всех   мы имеем  , или, что то же самое:

 
 
 

Так как  , мы можем взять   достаточно малым, чтобы   было положительным. Но тогда  , и по вышеописанному признаку сравнения если   сходится, то сходится и  .

Точно так же  , и тогда, если   сходится, то сходится и  .

Таким образом либо оба ряда сходятся, либо они оба расходятся.


ЛитератураПравить

  • Ю. С. Богданов — «Лекции по математическому анализу» — Часть 2 — Минск — Издательство БГУ им. В. И. Ленина — 1978.
  • Г. М. Фихтенгольц. Теоремы сравнения рядов // Основы математического анализа. — СПб.: Лань, 2001. — Т. 2. — С. 17-19. — 464 с. — ISBN 5-8114-0191-4.

СсылкиПравить