Псевдотопологическое пространство

Псевдотопологи́ческое простра́нство — множество с дополнительной предельной структурой определённого типа (так называемой псевдотопологией). Исторически понятие псевдотопологического пространства появилось как обобщение топологического пространства. Псевдотопологические пространства были введены в 1959 г. Фишером [1]. Псевдотопологические пространства естественным образом возникают при построении дифференциального исчисления в пространствах без нормы.[2] Топологические пространства можно рассматривать как частные случаи псевдотопологических.[3]

ОпределениеПравить

Псевдотопологическое пространство   представляет собой множество  , наделённое псевдотопологией. Множество   называется несущим множеством пространства   и обозначается через  . Если фильтр   в   сходится к точке   в данной псевдотопологии, то это обозначается как  . Псевдотопология в   определяется заданием для каждого   некоторого семейства фильтров в  , удовлетворяющих следующим условиям:

  1. Если фильтр сходится к  , то к   сходится и любой меньший фильтр.  
  2. Если два фильтра сходятся к  , то к   сходится и их верхняя грань.  
  3. Фильтр   сходится к  .  

ПримечанияПравить

  1. Fisher H. R., Limesraume, Math. Ann., 137 (1959), 269-303
  2. Фрёлихер, 1970, с. 6.
  3. Фрёлихер, 1970, с. 21.

ЛитератураПравить

  • Фрёлихер, А., Бухер В. Дифференциальное исчисление в векторных пространствах без нормы. — М.: Мир, 1970.