Разложение Данцига — Вулфа

Метод декомпозиции Данцига — Вулфа представляет собой специализированный вариант симплекс-метода.

В 1960 г. Джордж Данциг и Филип Вулф^[англ.] разработали метод декомпозиции для решения задач высокой размерности со специальной структурой матрицы ограничений^[1].

Этот метод оказался наиболее эффективным для решения задач, матрица ограничений которых имеет блочно-диагональный вид с небольшим числом переменных. Однако, как показали дальнейшие исследования, метод применим также и для задач линейного программирования с матрицей общего вида. Соответствующий метод предложен Д. Б. Юдиным и Э. Г. Гольштейном и называется блочным программированием.

Отличительной особенностью метода декомпозиции является использование координирующей задачи, которая имеет, по сравнению с исходной, небольшое число строк и большое число столбцов.

Метод генерации столбцов

Существенным является то, что для решения координирующей задачи не требуется задания всех столбцов в явном виде. Они генерируются в процессе использования симплекс-метода. Такой подход называют методом генерации столбцов.

Достаточно уметь генерировать столбец и иметь процедуру, выбирающую столбец для ввода в базис.

Часто такая процедура сводится к решению определенной подзадачи (не обязательно линейного программирования).

Принцип декомпозиции

Лемма Пусть $R$ - непустое замкнутое ограниченное множество в евклидовом пространстве и обладает конечным числом $K$ крайних точек, которые здесь будут обозначаться $z_{k=1:K}$ . Тогда любая точка $z$ множества $R$ может быть представлена в виде выпуклой комбинации крайних точек множества R, т.е. для $z$ найдутся неотрицательные числа $\delta _{k}$ с общей суммой единица ( $\sum _{k=1}^{K}\delta _{m}=1$ ) и такие, что

(1) $z=\sum _{k=1}^{K}\delta _{k}z_{k}$ .

Пусть поставлена задача

Максимизировать

(2) $c[N]x[N]$

при ограничениях

(3) $A[M_{1},N]x[N]=b[M_{1}]$

(4) $A[M_{2},N]x[N]=b[M_{2}]$

(5) $x[N]\geq 0[N]$

Ограничения (3) задают симплекс S, пусть $z[K]$ - его крайние точки.

Пусть x – допустимое решение По лемме $x=z[N,K]\cdot \delta [K]$

Подставим последнее выражение в (2) и (3).

Задача примет вид

Максимизировать (6) $(c[N]\cdot z[N,K])\cdot \delta [K]=g[K]\cdot \delta [K]$

при ограничениях

(7) $(A[M_{1},N]\cdot z[N,K])\cdot \delta [K]=D[M_{1},K]\cdot \delta [K]=b[M_{1}]$

(8) $\delta [K]\cdot 1[K]=1$ .

Эта задача эквивалентна исходной (2)-(5) и называется координирующей задачей.

Она имеет только $|M_{1}|+1$ строк ограничений по сравнению с $|M_{1}|+|M_{2}|$ строками исходной задачи, и очень большое число столбцов $|K|$ , равное числу крайних точек множества $S$ . Чтобы не хранить все эти столбцы в памяти ЭВМ, будем получать их по мере необходимости, пользуясь методом генерации столбцов.

Алгоритм

Решаем задачу (6)-(8) симплекс-методом с использованием метода генерации столбцов.

Для простоты предположим, что уже известно некоторое допустимое базисное решение.

Обозначим через $\delta$ ограничение (8), тогда двойственные переменные - это вектор $d[M_{1}\cup {\delta }]$ .

Для ввода в базис необходимо найти $z[N,m]$ , такой, что

$d[M_{1}]D[M_{1},K]+d[\delta ]<g[m]$

Таким образом достаточно найти m, на котором достигается минимум

(9) $d[M_{1}]A[M_{1},N]\cdot z[N,m]+d[\delta ]-c[N]z[N,m]$

что эквивалентно решению задачи

минимизировать (10) $(d[M_{1}]A[M_{1},N]-c[N])\cdot x[N])$

при ограничениях (4) и (5).

Если найденный минимум не будет больше $-d[\delta ]$ , задача решена.

В противном случае столбец $D[M_{1},k]$ , соответствующий найденному решению, вводим в базис.

Блочные задачи

Пусть ограничения (4) имеют блочную структуру

{\begin{pmatrix}A[M_{1},N_{1}]&0[M_{1},N_{2}]&\cdots &0[M_{1},N_{n}]\\0[M_{2},N_{1}]&A[M_{2},N_{2}]&\cdots &0[M_{2},N_{n}]\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\\0[M_{n},N_{1}]&0[M_{n},N_{2}]&\cdots &A[M_{n},N_{n}]\\\end{pmatrix}}

Задача (10),(4),(5) распадается на отдельные подзадачи

Найти минимум

(11) $(d[M_{k}]A[M_{k},N_{k}]-c[N_{k}])z[N_{k}]+d[\delta ]$

при условиях

(12) $A[M_{k},N_{k}]z[N_{k}]=b[M_{k}]$

Примечания

↑ George B. Dantzig; Philip Wolfe. Decomposition Principle for Linear Programs (неопр.) // Operations Research^[англ.]. — 1960. — Т. 8. — С. 101—111.

Литература

Хемди А. Таха. Глава 3. Симплекс-метод // Введение в исследование операций = Operations Research: An Introduction. — 7-е изд. — М.: «Вильямс», 2007. — С. 95-141. — ISBN 0-13-032374-8.

Гольштейн E. Г., Юдин Д. Б. Новые направления в линейном программировании.. — М.: Советское радио, 1966.

Юдин Д. Б., Гольдштейн Е. Г. Линейное программирование (теория, методы и приложения). — М.: Наука, 1969.

[1] George B. Dantzig; Philip Wolfe. Decomposition Principle for Linear Programs (неопр.) // Operations Research^[англ.]. — 1960. — Т. 8. — С. 101—111.

[1]