Решение Казнера

Метрика Казнера (разработанная американским математиком Эдвардом Казнером в 1921 году и названная в его честь) — точное решение уравнений Эйнштейна. Описывает анизотропную Вселенную без материи (т. е. представляет собой вакуумное решение) и определена при размерности пространства-времени $D>3$. Имеет приложения в изучении гравитационного хаоса.

Метрика и условия Казнера

Метрика при размерности пространства-времени $D>3$ имеет вид

${\text{d}}s^{2}=-{\text{d}}t^{2}+\sum _{j=1}^{D-1}t^{2p_{j}}[{\text{d}}x^{j}]^{2}$,

где $p_{j}$ — набор из $D-1$ констант (коэффициенты Казнера). Она описывает пространство-время такое, что гиперповерхности постоянного времени плоские, однако расширяются или сокращаются с разной скоростью в разных направлениях в зависимости от значений $p_{j}$. Пробные частицы в этой метрике, чьи сопутствующие координаты отличаются на $\Delta x^{j}$, разделены физическим расстоянием $t^{p_{j}}\Delta x^{j}$.

Метрика Казнера является точным решением уравнений Эйнштейна в вакууме только если коэффициенты Казнера удовлетворяют следующим условиям:

$\sum _{j=1}^{D-1}p_{j}=1,$

$\sum _{j=1}^{D-1}p_{j}^{2}=1.$

Первое условие задаёт плоскость, а второе — сферу, соответственно, искомый набор коэффициентов $p_{j}$ лежит на сфере, по которой они пересекаются. Таким образом, пространство решений лежит на сфере $S^{D-3}$.