Риск (теория принятия решений)

Риск (теория принятия решений) — математическое ожидание функции потерь вследствие принятия решения.

Риск является количественной оценкой последствий принятого решения. Минимизация риска является главным критерием оптимальности в теории принятия решений.

Средний риск

Средний риск $R(\varphi )$ вычисляется для известных распределений вероятностей наблюдаемых данных $x$ и ненаблюдаемых параметров $\lambda$. Представляет собой линейный функционал от условной плотности вероятности $\varphi (u\mid x)$ принятия решения $u$ при заданном значении $x$:

$R(\varphi )=M\left\{g(u,\lambda ,x)\right\}=\int \int \int g(u,\lambda ,x)\varphi (u\mid x)P(x\mid \lambda )p(\lambda )dudxd\lambda$

Здесь $g(u,\lambda ,x)$ - функция потерь. Оптимизация правила принятия решения заключается в определении такой функции $\varphi (u\mid x)$, которая обеспечивает минимум функционала $R(\varphi )$.

Априорный риск

Априорный риск $g(u)$ означает априорную оценку потерь, возникших вследствие принятого решения $u$:

$g(u)=\int \int g(u,\lambda ,x)P(x\mid \lambda )p(\lambda )dxd\lambda$

Априорный риск определяет потери, связанные с решением $u$ при отсутствии данных наблюдения $x$.

Апостеориорный риск

Апостериорным риском $R(u,x)$ называется условное математическое ожидание функции потерь для возможного решения $u$ при данном значении $x$:

$R(u,x)=\int \int g(u,\lambda ,x)p(\lambda \mid x)d\lambda ={\frac {\int g(u,\lambda ,x)p(x\mid \lambda )p(\lambda )d\lambda }{\int p(x\mid \lambda )p(\lambda )d\lambda }}$

Апостериорный риск даёт оценку потерь принятого решения $u$ при данном значении $x$.

Условный риск

Условный риск представляет собой условное математическое ожидание функции потерь при заданном значении ненаблюдаемых параметров $\lambda$:

$r(\varphi ,\lambda )=\int \int g(u,\lambda ,x)\varphi (u\mid x)P(x\mid \lambda )dudx$

Условный риск означает математическую оценку последствий принятого решения в среднем по всем возможным значениям наблюдаемых данных $x$, которые могут встретиться на практике.

Литература

• Репин В. Г., Тартаковский Г. П. Статистический синтез при априорной неопределенности и адаптация информационных систем. — М.: Советское радио, 1977. — 432 с.
• Закс Ш. Теория статистических выводов. — М.: Мир, 1975. — 776 с.