Ряд Пеано — бесконечная сумма, в которой слагаемые получены последовательным применением операторов интегрирования и перемножения матриц.

Ряд Пеано предложен в 1888 году Джузеппе Пеано[1] для определения матрицанта системы обыкновенных дифференциальных уравнений нормального вида[2]. Общая теория и свойства матрицантов для системы уравнений нормального вида (СНВ) разработаны Ф. Р. Гантмахером[3].

В последние годы алгоритмы, основанные на применения ряда Пеано, широко применяются для решения прикладных задач[4]. В связи с развитием вычислительной техники появилась возможность реализовать подобные алгоритмы не только в аналитическом, но и в численном и в численно-аналитическом виде.

Определение

править

Система линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами нормального вида (СНВ):

,

где  — вектор неизвестных функций,  — матрица коэффициентов  — вектор заданных функций (вектор «нагрузок»).

.

Общее решение системы дифференциальных уравнений нормального вида выражается через матрицу фундаментальных решений (матрицант):

.

,

Дж. Пеано показал, что матрицант матрицы представим в виде операторного ряда:

,

где  — единичная матрица. При этом матрица должна быть ограниченной и интегрируемой матричной функцией в рассматриваемом промежутке изменения аргумента. Ряд сходится абсолютно и равномерно в любом замкнутом интервале, в котором матрица А непрерывна.

Оператор интегрирования представляет собой интеграл с переменным верхним пределом:

.

Из этих выражений следует, что

.

.

Возможна и другая, физически более удобная, форма представления общего решения:

.

Здесь  — вектор начальных значений, которые заданы при .  — вектор внешних воздействий, которые действуют при . Не нарушая общности, можно считать, что .

Таким образом, если переменная физически представляет время, то общее решение представляет собой решение задачи Коши, а если переменная физически представляет расстояние, то общее решение представляет собой решение краевой задачи в виде метода начальных параметров[1].

Область сходимости ряда Пеано

править

Ряд Пеано сходится в заданном интервале изменения абсолютно и равномерно, если сходится мажорантный ряд

,

.

Следовательно, сходимость ряда определяется величиной наибольшего значения интеграла от абсолютного значения функций в заданном интервале изменения .

Применение ряда Пеано к решению линейных дифференциальных уравнений

править

Линейное дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами

можно свести к эквивалентной системе уравнений нормального вида введя обозначение

.

Продифференцировав это равенство, получим:

Эти равенства можно рассматривать как уравнения СНВ при . Последнее уравнение можно получить из исходного уравнения перенеся все члены, кроме , в правую часть, записав их в обратном порядке и выразив производные через переменные с соответствующим номером:

Тогда получаем эквивалентную систему нормального вида:

.

Матрица и вектор этой системы имеют вид:

; .

В векторе каждый последующий элемент является производной от предыдущего. Следовательно, каждая последующая строка в , начиная со второй, является производной от предыдущей:

Если обозначить , то матрицант можно представить в виде:

Таким образом, матрицант для эквивалентной системы нормального вида, представляет собой матрицу Вронского[1], причем система фундаментальных решений нормирована в нуле.

Ряд Пеано при решении дифференциальных уравнений второго порядка

править

Рассмотрим уравнение с произвольными переменными коэффициентами:

.

Это уравнение сводится к системе нормального вида:

; ; .

Если , то элементы матрицанта можно представить в виде:

Если интегралы берутся, то решение представимо в виде рядов по некоторым функциям. В качестве примера применения этих формул рассмотрим уравнение колебаний

, .

Элементы матрицанта получаем в виде следующих рядов:

;

.

Элементы второй строки в матрицанте получаются дифференцированием первой строки:

.

Большой практический интерес представляет решение задачи Штурма-Лиувилля[1] для уравнений вида:

.

В этом случае элементы рядов будут умножаться на соответствующую степень числа . Например:

При выполнении граничных условий на краях промежутка изменения аргумента эти формулы позволяют составить полином, корни которого дают весь спектр собственных чисел [4].

Реализация алгоритма в численном виде

править

В тех случаях, когда интегралы не берутся или получаются слишком сложные и громоздкие выражения, возможен численный алгоритм решения задачи. Интервал изменения аргумента разбивается множеством узлов на достаточно малые равные промежутки. Все функции, участвующие в решении задачи, задаются множеством значений в узлах сетки. Каждая функция имеет свой вектор значений в узлах сетки. Все интегралы вычисляются численно, например, с помощью метода трапеций.

Решение прикладных задач

править

Алгоритмы, основанные на применения ряда Пеано, применяются при решении задач статики, динамики и устойчивости для стержней, пластин и оболочек с переменными параметрами. При расчете двумерных систем применяются методы понижения размерности. При расчете оболочек вращения параметры оболочки и нагрузки в окружном направлении описываются тригонометрическими рядами. Система уравнений нормального вида составляется для каждой гармоники, описывающей изменение свойств оболочки, усилий и деформаций в продольном направлении, и получается общее решение краевой задачи. Эта часть задачи обычно решается численно. Затем с помощью условий совместности эти гармоники объединяются, и получается напряженно-деформированное состояние оболочки, изменяющееся в продольном и окружном направлении.

Примечания

править
  1. Peano G. Integration par series des equations differentielles lineaires, Math. Ann. 32 (1888), 450—456.
  2. Математическая энциклопедия. Том 3 и 4. Гл. редактор И. М. Виноградов. — М.: Изд-во Советская Энциклопедия. 1982.
  3. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — М.: Наука, 1967. — 575 с.
  4. Улитин В. В. Ряд Пеано и матрицанты при решении прикладных задач: монография. — СПб.: Изд-во «Парк Ком», 2012. −164 с.