Ряд Пеано — бесконечная сумма, в которой слагаемые получены последовательным применением операторов интегрирования и перемножения матриц.
Ряд Пеано предложен в 1888 году Джузеппе Пеано[1] для определения матрицанта системы обыкновенных дифференциальных уравнений нормального вида[2]. Общая теория и свойства матрицантов для системы уравнений нормального вида (СНВ) разработаны Ф. Р. Гантмахером[3].
В последние годы алгоритмы, основанные на применения ряда Пеано, широко применяются для решения прикладных задач[4]. В связи с развитием вычислительной техники появилась возможность реализовать подобные алгоритмы не только в аналитическом, но и в численном и в численно-аналитическом виде.
Система линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами нормального вида (СНВ):
,
где — вектор неизвестных функций, — матрица коэффициентов — вектор заданных функций (вектор «нагрузок»).
.
Общее решение системы дифференциальных уравнений нормального вида выражается через матрицу фундаментальных решений (матрицант):
.
,
Дж. Пеано показал, что матрицант матрицы представим в виде операторного ряда:
,
где — единичная матрица. При этом матрица должна быть ограниченной и интегрируемой матричной функцией в рассматриваемом промежутке изменения аргумента. Ряд сходится абсолютно и равномерно в любом замкнутом интервале, в котором матрица А непрерывна.
Оператор интегрирования представляет собой интеграл с переменным верхним пределом:
.
Из этих выражений следует, что
.
.
Возможна и другая, физически более удобная, форма представления общего решения:
.
Здесь — вектор начальных значений, которые заданы при . — вектор внешних воздействий, которые действуют при . Не нарушая общности, можно считать, что .
Таким образом, если переменная физически представляет время, то общее решение представляет собой решение задачи Коши, а если переменная физически представляет расстояние, то общее решение представляет собой решение краевой задачи в виде метода начальных параметров[1].
Область сходимости ряда Пеано
править
Ряд Пеано сходится в заданном интервале изменения абсолютно и равномерно, если сходится мажорантный ряд
,
.
Следовательно, сходимость ряда определяется величиной наибольшего значения интеграла от абсолютного значения функций в заданном интервале изменения .
Применение ряда Пеано к решению линейных дифференциальных уравнений
править
Линейное дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами
можно свести к эквивалентной системе уравнений нормального вида введя обозначение
.
Продифференцировав это равенство, получим:
Эти равенства можно рассматривать как уравнения СНВ при . Последнее уравнение можно получить из исходного уравнения перенеся все члены, кроме , в правую часть, записав их в обратном порядке и выразив производные через переменные с соответствующим номером:
Тогда получаем эквивалентную систему нормального вида:
.
Матрица и вектор этой системы имеют вид:
; .
В векторе каждый последующий элемент является производной от предыдущего. Следовательно, каждая последующая строка в , начиная со второй, является производной от предыдущей:
Если обозначить , то матрицант можно представить в виде:
Таким образом, матрицант для эквивалентной системы нормального вида, представляет собой матрицу Вронского[1], причем система фундаментальных решений нормирована в нуле.
Ряд Пеано при решении дифференциальных уравнений второго порядка
править
Рассмотрим уравнение с произвольными переменными коэффициентами:
.
Это уравнение сводится к системе нормального вида:
; ; .
Если , то элементы матрицанта можно представить в виде:
Если интегралы берутся, то решение представимо в виде рядов по некоторым функциям. В качестве примера применения этих формул рассмотрим уравнение колебаний
, .
Элементы матрицанта получаем в виде следующих рядов:
;
.
Элементы второй строки в матрицанте получаются дифференцированием первой строки:
.
Большой практический интерес представляет решение задачи Штурма-Лиувилля[1] для уравнений вида:
.
В этом случае элементы рядов будут умножаться на соответствующую степень числа . Например:
При выполнении граничных условий на краях промежутка изменения аргумента эти формулы позволяют составить полином, корни которого дают весь спектр собственных чисел [4].
Реализация алгоритма в численном виде
править
В тех случаях, когда интегралы не берутся или получаются слишком сложные и громоздкие выражения, возможен численный алгоритм решения задачи. Интервал изменения аргумента разбивается множеством узлов на достаточно малые равные промежутки. Все функции, участвующие в решении задачи, задаются множеством значений в узлах сетки. Каждая функция имеет свой вектор значений в узлах сетки. Все интегралы вычисляются численно, например, с помощью метода трапеций.
Алгоритмы, основанные на применения ряда Пеано, применяются при решении задач статики, динамики и устойчивости для стержней, пластин и оболочек с переменными параметрами. При расчете двумерных систем применяются методы понижения размерности. При расчете оболочек вращения параметры оболочки и нагрузки в окружном направлении описываются тригонометрическими рядами. Система уравнений нормального вида составляется для каждой гармоники, описывающей изменение свойств оболочки, усилий и деформаций в продольном направлении, и получается общее решение краевой задачи. Эта часть задачи обычно решается численно. Затем с помощью условий совместности эти гармоники объединяются, и получается напряженно-деформированное состояние оболочки, изменяющееся в продольном и окружном направлении.