Внешняя алгебра: различия между версиями
| [отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Tosha (обсуждение | вклад) |
Tosha (обсуждение | вклад) м \nolimits |
||
Строка 14:
== Связанные определения ==
* Операция <math>\wedge</math> называется '''внешним произведением'''.
* Подпространство <math>\bigwedge\nolimits^r V</math> (для <math>r=0, 1, \dots, n</math>) в <math>\bigwedge V,</math> порождённое элементами вида <math>e_{i_1}\wedge\dots\wedge e_{i_r},</math> называется <math>r</math>-ой '''внешней степенью''' пространства <math>V.</math>
== Свойства ==
* Алгебра <math>\bigwedge V</math> имеет структуру [[градуированная алгебра|градуированной алгебры]]:
: <math>\bigwedge V = K \oplus \bigoplus_{r=1}^{\infty} \bigwedge\nolimits^r V</math>
* Имеют место равенства:
:: <math>\operatorname{dim}\bigwedge\nolimits^r V=C^r_n,</math> в частности
:: <math>\bigwedge\nolimits^r V=0</math> при <math>r>n,</math> а также
:: <math>\operatorname{dim}\bigwedge V = 2^n.</math>
* Имеет место градуированная коммутативность (суперкоммутативность) внешнего умножения: <math>u\wedge v=(-1)^{rs}v\wedge u</math>, если <math>u\in\bigwedge\nolimits^rV, v\in\bigwedge\nolimits^sV.</math>
* Элементы пространства <math>\bigwedge\nolimits^r V</math> называются ''r''-векторами. В случае, когда [[Характеристика поля|характеристика]] основного поля равна 0, их можно понимать также как кососимметрические ''r'' раз контравариантные [[тензор]]ы над <math>V,</math> с операцией [[Симметризация и антисимметризация тензора|антисимметризированного (альтернированного)]] тензорного произведения, то есть внешнее произведение двух антисимметрических тензоров является композицией полной антисимметризации (альтернирования) по всем индексам с [[тензорное произведение|тензорным произведением]].
** В частности, внешнее произведение двух векторов можно понимать как следующий тензор:
**: <math>(\mathbf a \wedge \mathbf b)_{ij} = a_i b_j - a_j b_i.</math>
** '''Замечание:''' Нет единого стандарта в том, что значит «антисимметризация». Например, многие авторы предпочитают формулу
**: <math>(\mathbf a \wedge \mathbf b)_{ij} = (a_i b_j - a_j b_i)/2.</math>
* Квадрат произвольного вектора <math>\omega \in \bigwedge\nolimits^1 V</math> нулевой:
:: <math>\omega \wedge \omega = 0.</math>
: Следует отметить, что для ''r''-векторов при ''r'' > 1 это неверно.
| |||