|
Следовательно они обе сходятся как монотонные ограниченные последовательности.
Осталось заметить, что: <math>\lim_{m,n}|R_n-L_{m}|=0</math>, поэтому они сходятся к общему пределу <math> S</math>,
который и является суммой исходного ряда.
Попутно мы показали, что для любой частичноДоказательствочастичной суммы ряда <math>S_n</math> имеет место оценка <math>|S-S_n|<b_{n+1}</math>.
Рассмотрим две последовательности частичных сумм ряда
<nowiki>{\displaystyle R_{n}=b_{1}-b_{2}+\ldots -b_{2n}}</nowiki>
и
<nowiki>{\displaystyle L_{n}=b_{1}-b_{2}+\ldots +b_{2n-1}}</nowiki>
.
Первая последовательность не возрастает:
{\displaystyle R_{n}-R_{n+1}=b_{2n+1}-b_{2n+2}\geq 0}
по первому условию.
По тому же условию вторая последовательность не убывает:
{\displaystyle L_{n}-L_{n+1}=b_{2n+1}-b_{2n}\leq 0}
.
Первая последовательность мажорирует вторую, то есть
<nowiki>{\displaystyle R_{n}\geq L_{m}}</nowiki>
для любых
{\displaystyle m,n\in \mathbb {N} }
. Действительно,
при
{\displaystyle m\geq n}
имеем:
{\displaystyle R_{n}-L_{m}\geq R_{m}-L_{m}=b_{2m}>0,}
при
{\displaystyle m\leq n}
имеем:
{\displaystyle R_{n}-L_{m}\geq R_{n}-L_{n}=b_{2n}>0.}
Следовательно они обе сходятся как монотонные ограниченные последовательности.
Осталось заметить, что
{\displaystyle \lim _{m,n}{{!}}R_{n}-L_{m}{{!}}=0}
, поэтому они сходятся к общему пределу
{\displaystyle S}
, который и является суммой исходного ряда.
Попутно мы показали, что для любой частичной суммы ряда
<nowiki>{\displaystyle S_{n}}</nowiki>
имеет место оценка
<nowiki>{\displaystyle |S-S_{n}|<b_{n+1}}</nowiki>
.й суммы ряда <math>S_n</math> имеет место оценка <math>|S-S_n|<b_{n+1}</math>.
}}
| 