Биекция: различия между версиями
| [отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Kalendar (обсуждение | вклад) оформление |
Bezik (обсуждение | вклад) -См. также, -секции за невеликостью, -лишние слова, оформление |
||
Строка 1:
[[Файл:Bijection.svg|thumb|200px|Биективная функция.]]
'''Биекция''' — это [[отображение]], которое является одновременно и [[Сюръекция|сюръективным]], и [[Инъекция (математика)|инъективным]]. При биективном отображении каждому элементу одного множества соответствует ровно один элемент другого множества, при этом определено обратное отображение, которое обладает тем же свойством. Поэтому биективное отображение называют
Если между двумя множествами можно установить взаимно однозначное соответствие (биекцию), то такие множества называются
▲'''Биекция''' — это [[отображение]], которое является одновременно и [[Сюръекция|сюръективным]], и [[Инъекция (математика)|инъективным]]. При биективном отображении каждому элементу одного множества соответствует ровно один элемент другого множества, при этом определено обратное отображение, которое обладает тем же свойством. Поэтому биективное отображение называют ещё '''взаимно однозначным отображением''' (соответствием), '''одно-однозначным отображением'''.
▲Если между двумя множествами можно установить взаимно однозначное соответствие (биекцию), то такие множества называются '''[[Мощность множества|равномощными]]'''. С точки зрения [[Теория множеств|теории множеств]], равномощные множества неразличимы.
Взаимно однозначное отображение [[Конечное множество|конечного множества]] в себя называется [[Перестановка|перестановкой]] (или подстановкой) элементов этого множества.
Формально, [[Функция (математика)|
▲[[Функция (математика)|Функция]] <math>f\colon X\to Y</math> называется '''биекцией''' (и обозначается <math>f\colon X\leftrightarrow Y</math>), если она:
▲# Переводит разные элементы [[множество|множества]] <math>X</math> в разные элементы множества <math>Y</math> ([[Инъекция (математика)|инъективность]]). Иными словами,
▲#* <math>\forall x_1\in X,\;\forall x_2\in X\; x_1 \ne x_2\Rightarrow f(x_1) \ne f(x_2)</math>.
▲# Любой элемент из <math>Y</math> имеет свой прообраз ([[Сюръекция|сюръективность]]). Иными словами,
▲#* <math>\forall y\in Y,\;\exists x\in X\;f(x)=y</math>.
▲== Примеры ==
* [[Тождественное отображение]] <math>\mathrm{id}\colon X\to X</math> на множестве <math>X</math> биективно.
* <math>f(x)=x,\;f(x)=x^3</math> — биективные функции из <math>\R</math> в себя
* <math>f(x)=e^x</math> — биективная функция из <math>\R</math> в <math>\R_+=(0,\;+\infty)</math>.
* <math>f(x)=\sin x</math> не является биективной функцией, если считать её определённой на всём <math>\R</math>.
* [[Монотонная функция|Строго монотонная]] и [[Непрерывное отображение|непрерывная]] функция <math>f(x)</math> является биекцией из [[Промежуток (математика)|отрезка]] <math>[a,b]</math> на отрезок <math>[f(a),f(b)]</math>.
[[Файл:Bijective_composition.svg|thumb|300px|Композиция [[Инъективность|инъекции]] и [[Сюръекция|сюръекции]], дающая биекцию.]]
: <math>\forall x\in X\;f^{-1}(f(x))=x</math> и <math>\forall y\in Y\;f(f^{-1}(y))=y.</math>
* Если функции <math>f</math> и <math>g</math> биективны, то и композиция функций <math>g\circ f</math> биективна, в этом случае <math>(g\circ f)^{-1} = f^{-1}\circ g^{-1}</math>. Коротко: '''[[Композиция функций|композиция]] биекций является биекцией.''' Обратное, однако, неверно: если <math>g\circ f</math> биективна, то мы можем утверждать лишь, что <math>f</math> инъективна, а <math>g</math> сюръективна.▼
▲
== Литература ==
| |||