Биекция: различия между версиями

1330 байт убрано ,  1 год назад
-См. также, -секции за невеликостью, -лишние слова, оформление
(оформление)
(-См. также, -секции за невеликостью, -лишние слова, оформление)
[[Файл:Bijection.svg|thumb|200px|Биективная функция.]]
'''Биекция''' — это [[отображение]], которое является одновременно и [[Сюръекция|сюръективным]], и [[Инъекция (математика)|инъективным]]. При биективном отображении каждому элементу одного множества соответствует ровно один элемент другого множества, при этом определено обратное отображение, которое обладает тем же свойством. Поэтому биективное отображение называют ещётакже '''''взаимно однозначным отображением''''' (соответствием), '''''одно-однозначным отображением'''''.
 
Если между двумя множествами можно установить взаимно однозначное соответствие (биекцию), то такие множества называются '''[[Мощность множества|равномощными]]'''. С точки зрения [[Теория множеств|теории множеств]], равномощные множества неразличимы.
'''Биекция''' — это [[отображение]], которое является одновременно и [[Сюръекция|сюръективным]], и [[Инъекция (математика)|инъективным]]. При биективном отображении каждому элементу одного множества соответствует ровно один элемент другого множества, при этом определено обратное отображение, которое обладает тем же свойством. Поэтому биективное отображение называют ещё '''взаимно однозначным отображением''' (соответствием), '''одно-однозначным отображением'''.
 
Если между двумя множествами можно установить взаимно однозначное соответствие (биекцию), то такие множества называются '''[[Мощность множества|равномощными]]'''. С точки зрения [[Теория множеств|теории множеств]], равномощные множества неразличимы.
 
Взаимно однозначное отображение [[Конечное множество|конечного множества]] в себя называется [[Перестановка|перестановкой]] (или подстановкой) элементов этого множества.
 
Формально, [[Функция (математика)|Функцияфункция]] <math>f\colon X\to Y</math> называется '''биекцией''' (и обозначается <math>f\colon X\leftrightarrow Y</math>), если она:
== Определение ==
#* Переводитпереводит разные элементы [[множество|множества]] <math>X</math> в разные элементы множества <math>Y</math> ([[Инъекция (математика)|инъективность]]). Иными словами,:
[[Функция (математика)|Функция]] <math>f\colon X\to Y</math> называется '''биекцией''' (и обозначается <math>f\colon X\leftrightarrow Y</math>), если она:
#*: <math>\forall x_1\in X,\;\forall x_2\in X\; x_1 \ne x_2\Rightarrow f(x_1) \ne f(x_2)</math>.
# Переводит разные элементы [[множество|множества]] <math>X</math> в разные элементы множества <math>Y</math> ([[Инъекция (математика)|инъективность]]). Иными словами,
#* Любойлюбой элемент из <math>Y</math> имеет свой прообраз ([[Сюръекция|сюръективность]]). Иными словами,:
#* <math>\forall x_1\in X,\;\forall x_2\in X\; x_1 \ne x_2\Rightarrow f(x_1) \ne f(x_2)</math>.
#*: <math>\forall y\in Y,\;\exists x\in X\;f(x)=y</math>.
# Любой элемент из <math>Y</math> имеет свой прообраз ([[Сюръекция|сюръективность]]). Иными словами,
#* <math>\forall y\in Y,\;\exists x\in X\;f(x)=y</math>.
 
== Примеры ==:
<!-- Биекцию также называют '''взаимно однозначным отображением''' (взаимно однозначным соответствием<ref name="Дегтярёв">{{книга |автор=Дегтярёв Ю. И. |заглавие=Исследование операций |издание=Учеб. для вузов по спец. АСУ |место=М. |издательство=Высш. шк. |год=1986 |страниц=21}}</ref>).-->
 
== Примеры ==
* [[Тождественное отображение]] <math>\mathrm{id}\colon X\to X</math> на множестве <math>X</math> биективно.
* <math>f(x)=x,\;f(x)=x^3</math> — биективные функции из <math>\R</math> в себя.; Вообщевообще, любой [[моном]] одной [[Переменная величина|переменной]] [[Чётные и нечётные числа|нечетной]] [[степень многочлена|степени]] является биекцией из <math>\R</math> в себя.
* <math>f(x)=e^x</math> — биективная функция из <math>\R</math> в <math>\R_+=(0,\;+\infty)</math>.
* <math>f(x)=\sin x</math> не является биективной функцией, если считать её определённой на всём <math>\R</math>.
* [[Монотонная функция|Строго монотонная]] и [[Непрерывное отображение|непрерывная]] функция <math>f(x)</math> является биекцией из [[Промежуток (математика)|отрезка]] <math>[a,b]</math> на отрезок <math>[f(a),f(b)]</math>.
 
== Свойства ==
[[Файл:Bijective_composition.svg|thumb|300px|Композиция [[Инъективность|инъекции]] и [[Сюръекция|сюръекции]], дающая биекцию.]]
* Функция <math>f\colon X\to Y</math> является биективной тогда и только тогда, когда существует [[обратная функция]] <math>f^{-1}\colon Y\to X</math> такая, что:
: <math>\forall x\in X\;f^{-1}(f(x))=x</math> и <math>\forall y\in Y\;f(f^{-1}(y))=y.</math>
* Если функции <math>f</math> и <math>g</math> биективны, то и композиция функций <math>g\circ f</math> биективна, в этом случае <math>(g\circ f)^{-1} = f^{-1}\circ g^{-1}</math>. Коротко: '''[[Композиция функций|композиция]] биекций является биекцией.''' Обратное, однако, неверно: если <math>g\circ f</math> биективна, то мы можем утверждать лишь, что <math>f</math> инъективна, а <math>g</math> сюръективна.
 
== Применения ==
 
=== В информатике ===
Организация связи «один к одному» между [[Table (database)|таблицами]] [[Реляционная СУБД|реляционной БД]] на основе [[Первичный ключ|первичных ключей]].
 
== Примечания ==
{{примечания}}
 
* Если функции <math>f</math> и <math>g</math> биективны, то и композиция функций <math>g\circ f</math> биективна, в этом случае <math>(g\circ f)^{-1} = f^{-1}\circ g^{-1}</math>., Коротко:то есть, '''[[Композиция функций|композиция]] биекций является биекцией.''' Обратное, однако,в общем случае неверно: если <math>g\circ f</math> биективна, то мы можемможно утверждать лишь, что <math>f</math> инъективна, а <math>g</math> сюръективна.
== См. также ==
{{Навигация|Викисловарь=биекция}}
* [[Гомоморфизм]]
* [[Морфизм]]
* [[Эндоморфизм]]
* [[Автоморфизм]]
* [[Мономорфизм]]
* [[Эпиморфизм]]
* [[Биморфизм]]
* [[Изоморфизм]]
* [[Синонимы]]
* [[Подобие]]
* [[Аналогия]]
 
== Литература ==