Закон Бернулли: различия между версиями

| Символ =

| Размерность = <math>L^{-1}MT^{-2}</math>

| СГС = [[Эрг|эрг]]/см³

| Примечания = Постоянно вдоль [[линия тока|линии тока]] [[Стационарность|стационарного]] течения [[несжимаемая жидкость|несжимаемой жидкости]].

: <math>\frac{\rho v^2}{2} + \rho g h+ p = \text{const}.</math>

Здесь

{{Hider|

title = ''Элементарный вывод уравнения Бернулли из закона сохранения энергии''|

Элементарный вывод уравнения Бернулли из закона сохранения энергии приведён, например, в учебнике [[Сивухин, Дмитрий Васильевич|Д. В. Сивухина]]{{sfn|''Сивухин Д. В.'' Механика|1989|loc=§94. Стационарное движение идеальной жидкости. Уравнение Бернулли}}. Рассматривается стационарное движение жидкости вдоль линии тока, изображённое на рисунке. Слева на объем жидкости, первоначально заключённый между двумя сечениями <math>A_1</math> и <math>A_2</math>, действует сила <math>F_1=p_1A_1</math>, а справа — противоположного направления сила <math>F_2=-p_2A_2</math>. Скорость <math>v</math> и давление <math>p</math> в сечениях 1 и 2, а также их площади обозначены нижними индексами 1 и 2. За бесконечно малое время <math>\Delta t</math> левая граница этого объёма жидкости сместилась на малое расстояние <math>s_1=v_1\Delta t</math>, а правая — на расстояние <math>s_2=v_2\Delta t</math>. [[Работа (механика)|Работа]], совершённая силами давления, равна:

: <center><math>W=F_1s_1+F_2s_2=\Delta t\left(v_1A_1p_1-v_2A_2p_2\right). </math></center>

 

Для несжимаемой жидкости можно, во-первых, в выражении для работы положить <math>\rho_1=\rho_2=\rho</math> и, во-вторых, в выражении для энергии элемента жидкости ограничиться [[Кинетическая энергия|кинетической]] и [[Потенциальная энергия|потенциальной]] энергией: <math>\Delta E_1=\Delta m\left(\frac{v^2_1}2+gh_1\right),</math> <math>\Delta E_2=\Delta m\left(\frac{v^2_2}2+gh_2\right).</math> После этого равенство <math>\Delta W=\Delta E_2-\Delta E_1</math> даёт: <math>p_1+\rho g h_1+\frac{\rho v_1^2}2 = p_2+\rho g h_2+\frac{\rho v_2^2}2</math>, или <math>p+\rho g h+\frac{\rho v^2}2={\rm const}</math>.

hidden=1

}}

 

 

=== Вывод формулы Торричелли из закона Бернулли ===

: <math>\rho g h + p_0 = \frac{\rho v^2}{2} + p_0,</math>

где

 

=== Другие проявления и применения закона Бернулли ===

Вдоль горизонтальной трубы координата <math>z</math> постоянна и уравнение Бернулли принимает вид <math>\frac{\rho v^2}{2} + p = \text{const}</math>. Отсюда следует, что при уменьшении сечения потока из-за возрастания скорости давление падает. Эффект понижения давления при увеличении скорости потока лежит в основе работы [[расходомер|расходомера Вентури]]<ref>{{книга |автор=Молоканов Ю. К. |заглавие=Процессы и аппараты нефтегазопереработки |ссылка=http://chem21.info/page/107254081087012086069117039128018154208107006222 |место={{М}} |издательство=Химия |год=1980 |страницы=60 |страниц=408}}</ref> и [[Струйный насос|струйного насоса]]{{sfn|''Ландсберг Г. С.'' Закон Бернулли|1985}}.

 

 

=== Применение в гидравлике ===

{{main|Гидравлика|Гидравлические потери|Напор}}

: <math>H = h + \frac{p}{\rho g} + \frac{v^2}{2g} = \text{const},</math>

где имеющие размерность длины члены в этом уравнении могут иметь следующие названия:

| Примечания = Полное давление, делённое на [[удельный вес]].

}}

 

Закон Бернулли справедлив только для идеальных жидкостей, в которых отсутствуют потери на [[вязкость|вязкое]] [[трение]]. Для описания течений реальных жидкостей в технической гидромеханике (гидравлике) используют интеграл Бернулли с добавлением слагаемых, приближённо учитывающих различные «[[гидравлические потери]] напора»{{sfn|Напор|1992}}.