|
== Связь с дзета- и L-функциями ==
В случае, когда <math>K</math> -— [[абелево расширение]] <math>\mathbb{Q}</math>, его дзета-функция Дедекинда <math>\zeta_K(s)</math> может быть представлена в виде произведений [[L-функция Дирихле|L-функций Дирихле]]. К примеру, если <math>K</math> -— [[квадратичное поле]], то это означает, что
:<math>\frac{\zeta_K(s)}{\zeta_{\mathbb{Q}}(s)}=L(s,\chi)</math>
где <math>\chi</math> -— это [[символ Якоби]], используемый как [[Характер (теория чисел)|характер Дирихле]]. Это соотношение является аналитической переформулировкой [[Квадратичный закон взаимности|квадратичного закона взаимности Гаусса]].
В общем случае, если <math>K</math> -— [[Расширение Галуа|расширение Галуа]] поля <math>\mathbb{Q}</math> с [[Группа Галуа|группой Галуа]] <math>G</math>, то его дзета-функция Дедекинда является [[L-функция Артина|L-функцией Артина]] регулярного представления <math>G</math>, а значит разлагается в произведение L-функций Артина неприводимых представлений Артина <math>G</math>.
Связь с L-функциями Артина показывает, что если <math>L/K</math> -— расширение Галуа, то <math>\frac{\zeta_L(s)}{\zeta_K(s)}</math> является [[Голоморфная функция|голоморфной]] (<math>\zeta_K(s)</math> "делит" <math>\zeta_L(s)</math>). В случае произвольного расширения аналогичное утверждение следует из [[Гипотеза Артина для L-функций|гипотезу Артина для L-функций]]
Кроме того, <math>\zeta_K(s)</math> является [[дзета-функция Хассе-Вейля|дзета-функцией Хассе-Вейля]] для <math>\operatorname{Spec}\mathcal{O}_K</math> и мотивной L-функцией [[Мотив (Алгебраическая геометрия)|мотива]], приходящего из [[Когомология|когомологии]] <math>\operatorname{Spec}K</math>.
| 