Абсолютная непрерывность: различия между версиями
| [непроверенная версия] | [отпатрулированная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Linneris (обсуждение | вклад) мНет описания правки |
Tosha (обсуждение | вклад) Нет описания правки |
||
Строка 5:
== Абсолютно непрерывные функции ==
Функция <math>f\left(x\right)</math> называется '''абсолю́тно непреры́вной фу́нкцией''' на конечном или бесконечном [[Отрезок|отрезке]], если для любого <math> \varepsilon > 0</math>
<math>\sum_{i=1}^n \left| y_i - x_i \right| < \delta </math>, выполнено неравенство
<math>\sum_{i=1}^{n} \left|f\left( y_i \right) - f\left( x_i \right)\right| < \varepsilon</math><ref>{{Книга|автор=Богачёв, В.И., Смолянов О.Г.|заглавие=Действительный и функциональный анализ: университетский курс|ответственный=|издание=|место=М.-Ижевск|издательство=НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", Институт компьютерных исследований|год=2009|страницы=188|страниц=724|isbn=978-5-93972-742-6|isbn2=}}</ref>.
Строка 12:
Обратное неверно.
* Всякая абсолютно непрерывная функция имеет на промежутках конечной длины [[Вариация функции#Связанные определения|ограниченную вариацию]].
* Абсолютно непрерывные функции образуют [[векторное пространство]]. Более того, они образуют замкнутое [[подпространство]] в пространстве функций ограниченной вариации.
* Произведение абсолютно непрерывных на отрезке конечной длины функций даёт абсолютно непрерывную функцию.
* Каждая абсолютно непрерывная функция представима в виде разности двух неубывающих абсолютно непрерывных функций.
* Пусть <math> F </math> абсолютно непрерывная функция на <math>[a,b]</math>. Тогда она почти всюду дифференцируема; [[обобщённая производная]] <math>F'</math> интегрируема по Лебегу и для всех <math>x\in[a,b]</math> выполняется [[Теорема Ньютона — Лейбница|равенство]]:
*:<math>\int\limits_a^x {F'(t)\,dt}=F(x)-F(a)</math>.
* Обратно, функция, имеющая на [[Промежуток (математика)|интервале]] [[Интеграл Лебега#Замечания|интегрируемую по Лебегу]] [[обобщённая производная|обобщённую производную]], является абсолютно непрерывной на нём, с точностью до множества [[Мера Лебега|лебеговой меры]] ноль.
* Если функция <math>f(x)</math> абсолютно непрерывна на отрезке <math>[a, b]</math> и <math>F(y)</math> абсолютно непрерывна на отрезке, содержащем все значения <math>f(x)</math>, то для того, чтобы суперпозиция <math>F[f(x)]</math> была абсолютно непрерывна, необходимо и достаточно, чтобы она была функцией с ограниченной вариацией ([[теорема Фихтенгольца]]).
* Каждая абсолютно непрерывная функция обладает [[Свойство Лузина|свойством Лузина]].
*Любая [[липшицева функция]] является абсолютно непрерывной.▼
▲Любая [[липшицева функция]] является абсолютно непрерывной.
=== Примеры ===
| |||