Википедия

Точка Брокара: различия между версиями

Интерактивная навигация по истории
(Показать все непатрулированные изменения)
[непроверенная версия][отпатрулированная версия]
← Предыдущая правкаСледующая правка →
Содержимое удалено Содержимое добавлено
ВизуальныйВики-текст
оформления, порядок, -второе определение барицентрических координат (это то же было?)
Строка 1:
[[Файл:Brocard point.svg|мини|Точка Брокара <math>P</math> треугольника <math>\triangle ABC</math>, построенная как точка пересечения трёх окружностей]]
*'''Точка Брокара''' — одна из двух точек внутри [[треугольник]]а, возникающих на пересечении отрезков, соединяющих вершины треугольника с соответствующими свободными вершинами треугольников, [[Подобие треугольников|подобных]] данному треугольнику и построенных на его сторонах. Считаются [[Замечательные точки треугольника|замечательными точками треугольника]], с их помощью строятся многие объекты [[Геометрия треугольника|геометрии треугольника]] (в том числе, [[окружность Брокара]], [[треугольник Брокара]], [[окружность Нейберга]] (см. также [[Нойберг, Жозеф]]), [[окружности Схоуте]]).
 
Названы впо честьимени французского метеоролога и геометра [[Брокар, Анри|Анри Брокара]], описавшего точки и их построение в [[1875 год в науке|1875 году]], однако были известны и ранее, в частности, были построены в одной из работ немецкого математика и архитектора [[Крелле, Август Леопольд|Августа Крелле]], изданной в [[1816 год в науке|1816 году]].
* ''Точка Брокара'' - одна из 2 точек внутри треугольника, чьи чевианы образуют равные углы с 3 его сторонами, измеренными в 3 его вершинах (см. рис. справа).▼
 
*В [[Энциклопедия_центров_треугольникаЭнциклопедия центров треугольника|энциклопедии центров треугольника]] первая ''точка Брокара'' известнаидентифицируется как <math>X(39)</math>.
 
== Определение ==<!--Используется для перенаправления Угол Брокара-->
В треугольнике <math>\triangle ABC</math> со сторонами <math>a</math>, <math>b</math>, и <math>c</math>, противолежащими вершинам <math>A</math>, <math>B</math> и <math>C</math> соответственно, имеется всего одна точка <math>P</math> такая, что отрезки прямых <math>AP</math>, <math>BP</math> и <math>CP</math> образуют один и тот же угол <math>\omega</math> со сторонами <math>c</math>, <math>a</math> и <math>b</math> соответственно: <math>\angle PAB = \angle PBC = \angle PCA</math>. Точка <math>P</math> называется ''первой точкой Брокара'' треугольника <math>\triangle ABC</math>, а угол <math>\omega</math> — '''''углом Брокара''''' треугольника.
 
Для угла Брокара <math>\omega</math> выполняется следующее тождество: <math>\mathrm{ctg}\, \omega = \mathrm{ctg}\, \angle BAC + \mathrm{ctg}\, \angle ABC + \mathrm{ctg}\, \angle ACB</math>.
Для угла Брокара <math>\omega</math> выполняется следующее {{anchor2|неравенство Йиффа}}:
<math>8\omega^3\le\alpha\beta\gamma</math>, где <math>\alpha=\angle BAC,\beta=\angle ABC,\gamma=\angle ACB</math>  — углы искомого треугольника<ref>{{Книга|автор=Michiel Hazewinkel|заглавие=Encyclopaedia of Mathematics, Supplement III|ссылка=https://books.google.com/books?id=47YC2h295JUC&pg=PA83|ответственный=|издание=|место=|издательство=Springer Science & Business Media|год=2001-12-31|страницы=83|страниц=564|isbn=9781402001987}}</ref>.
 
В треугольнике <math>\triangle ABC</math> имеется также ''вторая точка Брокара'' <math>Q</math>, такая, что отрезки прямых <math>AQ</math>, <math>BQ</math> и <math>CQ</math> образуют один и тот же угол со сторонами <math>b</math>, <math>c</math> и <math>a</math> соответственно: <math>\angle QCB = \angle QBA = \angle QAC</math>. Вторая точка Брокара [[Изогональное сопряжение|изогонально сопряжена]] с первой точкой Брокара, то есть угол <math>\angle PBC = \angle PCA = \angle PAB</math> равен углу <math>\angle QCB = \angle QBA = \angle QAC</math>.
Строка 18 ⟶ 19 :
== Построение ==
Наиболее известное построение точек Брокара — на пересечении окружностей, строящихся следующим образом: для <math>\triangle ABC</math> проводится окружность через точки <math>A</math> и <math>B</math>, [[Касательная прямая к окружности|касающаяся]] стороны <math>BC</math> (центр этой окружности находится в точке, которая лежит на пересечении серединного перпендикуляра к стороне <math>AB</math> с прямой, проходящей через <math>B</math> и перпендикулярной <math>BC</math>); аналогичным образом строится окружность через точки <math>B</math> и <math>C</math> и касающуюся стороны <math>AC</math>; третья окружность — через точки <math>A</math> и <math>C</math> и касающаяся стороны <math>AB</math>. Эти три окружности имеют общую точку пересечения, являющуюся первой точкой Брокара треугольника <math>\triangle ABC</math>. Вторая точка Брокара строится аналогично — строятся окружности: через <math>A</math> и <math>B</math>, касающаяся <math>AC</math>; через <math>B</math> и <math>C</math>, касающаяся <math>AB</math>; через <math>A</math> и <math>C</math>, касающаяся <math>BC</math>.
 
 
== Трилинейные и бариценрические координаты первых двух точек Брокара==
Однородные [[трилинейные координаты]] для первой и второй точек Брокара есть <math>c/b : a/c : b/a</math> и <math>b/c : c/a: a/b</math> соответственно. Таким образом, их [[барицентрические координаты]] соответственно<ref name=Scott>Scott, J. A. "Some examples of the use of areal coordinates in triangle geometry", ''[[Mathematical Gazette]]'' 83, November 1999, 472–477.</ref> <math>c^2a^2:a^2b^2:b^2c^2</math> и <math>a^2b^2:b^2c^2:c^2a^2.</math>▼
 
== Свойства ==
▲Однородные [[трилинейные координаты]] для первой и второй точек Брокара есть <math>c/b : a/c : b/a</math> и <math>b/c : c/a: a/b</math> соответственно. Таким образом, их [[барицентрические координаты]] соответственно<ref name=Scott>Scott, J. A. "«Some examples of the use of areal coordinates in triangle geometry"», ''[[Mathematical Gazette]]'' 83, November 1999, 472–477472—477.</ref> <math>c^2a^2:a^2b^2:b^2c^2</math> и <math>a^2b^2:b^2c^2:c^2a^2.</math>
* Точки Брокара лежат на [[Окружность Брокара|окружности Брокара]] - окружности, диаметрально построенной на отрезке, соединяющем центр описанной окружности с [[Точка Лемуана|точкой Лемуана]]. На ней также лежат вершины первых двух треугольников Брокара.▼
* Точки Брокара сопряжены изогонально.▼
* Барицентрические координаты: <math>\left(\frac{1}{b^2} : \frac{1}{c^2} : \frac{1}{a^2}\right)</math> и <math>\left(\frac{1}{c^2} : \frac{1}{a^2} : \frac{1}{b^2}\right)</math>.
 
▲* Точки Брокара лежат на [[Окружность Брокара|окружности Брокара]] - — окружности, диаметрально построенной на отрезке, соединяющем центр описанной окружности с [[Точка Лемуана|точкой Лемуана]]. На ней также лежат вершины первых двух треугольников Брокара.
== См. также ==
▲* Точки Брокара сопряжены изогонально.
* [[Окружность Брокара]]
 
* [[Треугольник Брокара]]
▲* ''Точка Брокара'' -— одна из 2 точек внутри треугольника, чьи чевианы образуют равные углы с 3тремя его сторонами, измеренными в 3трёх его вершинах (см. рис. справа).
 
== Примечания ==
{{примечания}}
 
 
== Литература ==
* {{книга
| автор = [[Зетель, Семён Исаакович|С. И. Зетель]]
| заглавие = Новая геометрия треугольника
| место = М.
Источник — https://ru.wikipedia.org/wiki/Точка_Брокара