Длина окружности: различия между версиями
| [отпатрулированная версия] | [непроверенная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
→Круг: Переведено с en:Circumference Метки: удалено перенаправление с мобильного устройства из мобильной версии |
|||
Строка 1:
[[File:Circle-withsegments.svg|thumb|'''Длина окружности''' C с диаметром D, радиусом R и центром O. Circumference = <math>\pi</math> × D = 2 × <math>\pi</math> × R.]]
'''Длина окружности''' (от латинского ''circumferens'') — это длина замкнутой плоской кривой, ограничивающей круг. Поскольку окружность является границей круга, или [[диск]]а, длина окружности является частным случаем периметра<ref>{{citation|first1=Jeffrey|last1=Bennett|first2=William|last2=Briggs|title=Using and Understanding Mathematics / A Quantitative Reasoning Approach (англ.)|edition=3rd|publisher=Addison-Wesley|year=2005|isbn=978-0-321-22773-7|page=580}} </ref><ref>{{cite web | url=http://www-rohan.sdsu.edu/~pwbrock/files/UNIT9.3.pdf | title =Perimeter, Area and Circumference | author =San Diego State University | publisher =[[Addison-Wesley]] | year =2004| archive-url=https://web.archive.org/web/20141006153741/http://www-rohan.sdsu.edu/~pwbrock/files/UNIT9.3.pdf|archive-date=6 October 2014| author-link =San Diego State University }}</ref>. [[Периметр]] — общая длина границы фигуры.
== Круг ==
Длина окружности может быть определена как [[предел|предел последовательности ]] периметров вписанных в круг [[правильный многоугольник|правильных многоугольников]]<ref>{{citation|first=Harold R.|last=Jacobs|title=Geometry (англ.)|year=1974|publisher=W. H. Freeman and Co.|isbn=0-7167-0456-0|page=565}}</ref>. Термин длина окружности используется при измерении физических объектов, а также, если рассматривать абстрактные геометрические формы.
[[File:Pi-unrolled-720.gif|thumb|240px|Если [[диаметр]] окружности равен 1, её длина равна <math>\pi</math>.]]
[[File:2pi-unrolled.gif|thumb|240px|Если [[радиус]] окружности равен 1, её длина равна <math>2\pi</math>.]]
=== Длина окружности и число пи ===
Длина окружности связана с одной из самых важных математических констант — числом [[пи]]. [[Число пи]] обозначается [[греческий алфавит|греческой буквой]] [[Пи (буква)|пи]] (<math>\pi</math>). Первые цифры числа в десятичной записи — 3.141592653589793 ...<ref>{{CiteOEIS|A000796}}</ref> Пи определяется как [[отношение]] длины окружности {{math|''C''}} к его диаметру <math>d</math>:
:<math> \pi = \frac{C}{d}</math>
Или, что эквивалентно, как отношение длины окружности к двум ее [[радиус]]ам. Формула выше принимает вид:
:<math>{C}=\pi\cdot{d}=2\pi\cdot{r}.\!</math>
Использование константы <math>\pi</math> является повсеместным в науке и прикладном применении математики.
В книге ''[[:en:Measurement of a Circle]]'', написанной около 250 до н.э., [[Архимед]] показал, что это отношение ({{math|''C''/''d''}}, поскольку он не использовал обозначение <math>\pi</math>) больше 3{{sfrac|10|71}}, но меньше 3{{sfrac|1|7}}, вычислив периметры вписанного и описанного многоугольника с 96 сторонами.<ref>{{citation|first=Victor J.|last=Katz|title=A History of Mathematics / An Introduction (англ.)|edition=2nd|year=1998|publisher=Addison-Wesley Longman|isbn=978-0-321-01618-8|page=[https://archive.org/details/historyofmathema00katz/page/109 109]|url-access=registration|url=https://archive.org/details/historyofmathema00katz/page/109}}</ref> Этот метод аппроксимации числа <math>\pi</math> использовался столетиями, так как имел большую точность, нежели формулы многоугольников с большим числом сторон. Последнее такое вычисление производилось в 1630 [[:en:Christoph Grienberger]], использовавшим многочлены с 10<sup>40</sup> сторонами.
== Эллипс ==
Термин длина окружности используется разными авторами для описания периметра эллипса. Нет общей формулы для вычисления длины окружности эллипса через большие и малые полуоси эллипса, которая бы использовала только элементарные функции. Однако, есть приближённые формулы, в которых фигурируют эти параметры. Формула Эйлера (1773) для канонического эллипса
:<math>\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1,</math>
равна
:<math>C_{\rm{ellipse}} \sim \pi \sqrt{2(a^2 + b^2)}</math>
Нижние и верхние границы длины окружности канонического эллипса при <math>a\geq b</math> <ref>{{cite journal|last1=Jameson|first1=G.J.O.|title=Inequalities for the perimeter of an ellipse (англ.)| journal= Mathematical Gazette|volume= 98 |issue=499|year=2014|pages=227–234|doi=10.2307/3621497|jstor=3621497}}</ref>
:<math>2\pi b\le C\le 2\pi a,</math>
:<math>\pi (a+b)\le C\le 4(a+b),</math>
:<math>4\sqrt{a^2+b^2}\le C\le \pi \sqrt{2(a^2+b^2)} .</math>
Здесь верхняя граница <math>2\pi a</math> — длина окружности описанного концентирчного круга, проходящего через концевые точки больших осей эллипса, а нижняя граница <math>4\sqrt{a^2+b^2}</math> — периметр вписанного [[ромб]]а, [[вершина (геометрия)|вершины]] которого — концы больших и малых осей.
Длина окружности эллипса может быть описана с помощью [[эллиптический интеграл|полного эллиптического интеграла второго рода]].<ref>{{citation|first1=Gert|last1=Almkvist|first2=Bruce|last2=Berndt|title=Gauss, Landen, Ramanujan, the arithmetic-geometric mean, ellipses, pi, and the Ladies Diary (англ.)|journal=American Mathematical Monthly|year=1988|pages=585–608|volume=95|issue=7|mr=966232|doi=10.2307/2323302|jstor=2323302|url=https://semanticscholar.org/paper/8e3c462f5eb920fe178985f159cdfee815b59c52}}</ref> Более точно:
:<math>C_{\rm{ellipse}} = 4a\int_0^{\pi/2}\sqrt {1 - e^2 \sin^2\theta}\ d\theta,</math>
где <math>a</math> — длина большой полуоси и <math>e</math> — эксцентриситет <math>\sqrt{1 - b^2/a^2}.</math>
== См. также ==
* [[Длина дуги]]
* [[Эллипс]]
* [[Изопериметрическое неравенство]]
== Примечания ==
{{Reflist}}
== Внешние ссылки ==
{{wikibooks|Geometry|Circles/Arcs|Arcs}}
{{Wiktionary|длина окружности}}
* [http://www.numericana.com/answer/ellipse.htm#elliptic Numericana - Circumference of an ellipse]
[[Category:Geometric measurement]]
[[Category:Circles]]
| |||