Симплектическое многообразие: различия между версиями

Нет описания правки
**Это определение аналогично определению [[градиент]]а и иногда <math>v</math> называется ''симплектическим градиентом'' функции <math>H</math>.
**Поле <math>v</math>, которое можно получить таким образом называется гамильтоновым.
**В силу невырожденности формы <math>\omega</math> векторное поле <math>v</math> определено однозначно. Будем обозначать его <math>v=\mathrm{I} dH</math>. В координатах Дарбу это отображение принимает вид
*: <math>\dot {\mathbf q} = \frac{\partial H}{\partial \mathbf p}, \quad \dot {\mathbf p} = - \frac{\partial H}{\partial \mathbf q},</math>
:соответствующий [[Уравнения Гамильтона|уравнениям Гамильтона]], при этом <math>H</math> называется ''функцией Гамильтона'' или ''гамильтонианом''.
 
*[[Скобки Пуассона]] превращают множество гамильтонианов на <math>M</math> в [[Алгебра Ли|алгебру Ли]] и определены по правилу
: <math>[F, G] = \omega(\mathrm{I} dF, \mathrm{I} dG).</math>
 
== Свойства ==
: При этом в касательном пространстве каждой точки в рассматриваемой окрестности оказывается выбран [[базис Дарбу]].
* Гамильтонов фазовый поток сохраняет симплектическую структуру:
*: <math>\ L_{IdH\mathrm{I}dH}\, \omega = 0</math>
: Здесь <math>L_v</math> — [[производная Ли]] по векторному полю <math>v</math>. Таким образом, гамильтонов фазовый поток является симплектоморфизмом.