Алгебра Клиффорда: различия между версиями
| [непроверенная версия] | [непроверенная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Mousy (обсуждение | вклад) исправления |
Tosha (обсуждение | вклад) Нет описания правки |
||
Строка 1:
'''Алгебра Клиффорда'''
== Определение ==
Пусть <math>K</math>
<math>T(E)</math>, <math>K</math>-модуля <math>E</math> по двустороннему [[Идеал (алгебра)|идеалу]], порождённому элементами вида
: <math>x \otimes x - Q(x,x),~~x\in E</math>
Строка 9:
Элементы из <math>E</math> отождествляются с соответствующими классами смежности в <math>Cl(Q)</math>.
===Комментарий===
Для любых <math>x, y \in E</math> имеет место тождество▼
Обычно в качестве <math>K</math> рассматривают [[поле (алгебра)|поля]] [[Вещественные числа|вещественных]] либо [[Комплексные числа|комплексных]] чисел, тогда <math>E</math>
: <math>x\otimes y + y\otimes x = 2 \left\langle x,y\right\rangle</math>▼
== Свойства ==▼
где <math>\left\langle ,\right\rangle</math> — симметричная билинейная форма, соответствующая квадратичной форме ''Q'':▼
: <math>\left\langle x,y\right\rangle = \frac{1}{2}\left( Q(x+y)-Q(x)-Q(y) \right)</math>▼
▲*Для любых <math>x, y \in E</math> имеет место тождество
Для нулевой квадратичной формы <math>Q</math> алгебра <math>Cl(E,Q)</math> совпадает со [[внешняя алгебра|внешней алгеброй]] <math>\Lambda(E)</math> <math>K</math>-модуля <math>E</math>.▼
▲*: <math>x\otimes y + y\otimes x = 2 \left\langle x,y\right\rangle</math>
▲:где <math>\left\langle ,\right\rangle</math>
▲:: <math>\left\langle x,y\right\rangle = \frac{1}{2}\left( Q(x+y)-Q(x)-Q(y) \right)</math>
▲*Для нулевой квадратичной формы <math>Q</math> алгебра <math>Cl(E,Q)</math> совпадает со [[внешняя алгебра|внешней алгеброй]] <math>\Lambda(E)</math> <math>K</math>-модуля <math>E</math>.
▲Обычно в качестве <math>K</math> рассматривают [[поле (алгебра)|поля]] [[Вещественные числа|вещественных]] либо [[Комплексные числа|комплексных]] чисел, тогда <math>E</math> — [[линейное пространство]], и в качестве <math>Q</math> используется присущая этому пространству структура [[скалярное произведение|скалярного произведения]].
▲== Свойства ==
*Пусть <math>e_1,e_2,\dots,e_n</math>
*: <math>1, e_{j_1}e_{j_2}\dots e_{j_k},\ \ (j_1<\dots<j_k)</math>
: или, иначе: <math>e_1^{\sigma_1}e_2^{\sigma_2}\dots e_n^{\sigma_n}</math> где <math>\sigma_j = 0,1</math> образуют [[базис]] <math>K</math>-модуля <math>Cl(Q)</math>. В частности, <math>Cl(Q)</math> является свободным
<math>K</math>-модулем ранга (размерности) <math>2^n</math>. Если, кроме того, <math>e_1,e_2,\dots,e_n</math> [[ортогональный базис |ортогональны]] относительно <math>Q</math>, то <math>Cl(Q)</math> можно задать как <math>K</math>-алгебру с образующими <math>1, e_1,e_2,\dots,e_n</math> и определяющими соотношениями <math>e_ie_j+e_je_j=0</math>, (<math>i\not=j</math>) и <math>e_i^2= Q(e_i,e_i)</math>.▼
*Подмодуль <math>Cl(Q)</math>, порождённый произведениями чётного числа элементов из <math>E</math>, образует подалгебру в <math>Cl(Q)</math>, которая обозначается через <math>Cl^+(Q)</math>.▼
▲<math>K</math>-алгебру с образующими <math>1, e_1,e_2,\dots,e_n</math> и определяющими соотношениями <math>e_ie_j+e_je_j=0</math>, (<math>i\not=j</math>) и <math>e_i^2= Q(e_i,e_i)</math>.
▲Подмодуль <math>Cl(Q)</math>, порождённый произведениями чётного числа элементов из <math>E</math>, образует подалгебру в <math>Cl(Q)</math>, которая обозначается через <math>Cl^+(Q)</math>.
*Пусть <math>K</math>
**При чётном n алгебра <math>Cl(Q)</math> является центральной [[простая алгебра|простой алгеброй]] над <math>K</math> размерности <math>2^n</math>, подалгебра <math>Cl^+(Q)</math> сепарабельна, а её центр имеет размерность <math>2</math> над <math>K</math>. Если <math>K</math> [[алгебраически замкнутое поле|алгебраически замкнуто]], то при чётном <math>n</math> <math>Cl(Q)</math>
[[Категория:Теория колец]]
| |||