Открыть главное меню

Алгебра Клиффорда — специального вида ассоциативная алгебра с единицей   над некоторым коммутативным кольцом ( — векторное пространство, или более общо свободный -модуль) с некоторой операцией [«умножения»], совпадающей с заданной на билинейной формой .

Смысл конструкции состоит в ассоциативном расширении пространства EK и операции умножения на нём так, чтобы квадрат последней совпал с заданной квадратичной формой Q. Впервые рассмотрена Клиффордом. Алгебры Клиффорда обобщают комплексные числа, паракомплексные числа и дуальные числа, также бикомплексные числа, кватернионы и т.п.: их семейство исчерпывающе охватывает все ассоциативные гиперкомплексные числа.

Содержание

Формальное определениеПравить

Пусть    — коммутативное кольцо с единицей,    — свободный K-модуль,   — квадратичная форма на   . Алгеброй Клиффорда квадратичной формы   (или пары  ) называется факторалгебра   тензорной алгебры  ,  -модуля   по двустороннему идеалу, порождённому элементами вида

 

Элементы (векторы) из  , являясь тензорами ранга 1, рассматриваются также и как элементы  , причём соответственное отображение является мономорфизмом (вложением) модулей:

 .

КомментарийПравить

Если   есть поля вещественных либо комплексных чисел, тогда  линейное пространство, а в качестве   используется присущее такому пространству скалярное произведение.

Примеры вещественных и комплексных алгебрПравить

СвойстваПравить

  • Основное тождество алгебр Клиффорда: если характеристика кольца K не равна двум, то для любых  :
     
где   — симметричная билинейная форма, соответствующая квадратичной форме Q:
 .
  • выражение   называется антикоммутатором   и  .
  • Для нулевой квадратичной формы   алгебра   совпадает со внешней алгеброй    -модуля  .
  • Пусть   — некоторый базис  -модуля  , тогда элементы вида
      для всех k от 1 по n) или, иначе:   где   образуют базис  -модуля  . В частности,   является свободным  -модулем ранга (размерности)  
    • Если, кроме того,   ортогональны относительно  , то   можно задать как  -алгебру с образующими   и определяющими соотношениями  , ( ) и  .
  • Алгебра Клиффорда обладает Z2-градуировкой. В частности, подмодуль в  , порождённый произведениями чётного числа элементов из  , образует подалгебру в  , которая обозначается через  .
  • Пусть   — поле и квадратичная форма   невырождена
    • тогда при чётном n алгебра   является центральной простой алгеброй над   размерности  , подалгебра   сепарабельна, а её центр имеет размерность 2 над  .
  • Если   алгебраически замкнуто, то
    • при чётном n  матричная алгебра, a   — произведение двух матричных алгебр,
    • при нечётном n, наоборот,   — матричная, а   — произведение двух матричных алгебр.

Матричные представления алгебр КлиффордаПравить

Уравнение Дирака — важный пример применения представлений CL_3,1(ℝ), которые впервые изучены Этторе Майорана.

ЛитератураПравить