Дуальные числа

Дуальные числа или (гипер)комплексные числа параболического типагиперкомплексные числа вида , где и  — вещественные числа, а  — абстрактный элемент, квадрат которого равен нулю, но сам он нулю не равен. Любое дуальное число однозначно определяется такой парой чисел и . Множество всех дуальных чисел образует двумерную коммутативную ассоциативную алгебру с единицей относительно мультипликативной операции над полем вещественных чисел . В отличие от поля обычных комплексных чисел, эта алгебра содержит делители нуля, причём все они имеют вид . Плоскость всех дуальных чисел представляет собой «альтернативную комплексную плоскость». Аналогичным образом строятся алгебры комплексных и двойных чисел.

Замечание. Иногда дуальные числа называют двойными числами[1], хотя обычно под двойными числами понимается иная система гиперкомплексных чисел.

ОпределениеПравить

Алгебраическое определениеПравить

Дуальные числа — это пары вещественных чисел вида  , для которых определены операции умножения и сложения по правилам:

 
 

Числа вида   отождествляются при этом с вещественными числами, а число   обозначается  , после чего определяющие тождества примут вид:

 
 
 

Более кратко, кольцо дуальных чисел есть факторкольцо   кольца вещественных многочленов по идеалу, порождённому многочленом  .

Линейное представлениеПравить

Дуальные числа можно представить как матрицы из вещественных чисел, при этом сложению дуальных чисел соответствует сложение матриц, а умножению чисел — умножение матриц. Положим  . Тогда произвольное дуальное число примет вид

 .

Показательная формаПравить

Для экспоненты с дуальным показателем верно следующее равенство:

 

Данная формула позволяет представить любое дуальное число в показательной форме и найти его логарифм по вещественному основанию. Она может быть доказана разложением экспоненты в ряд Тейлора:

 

При этом все члены выше первого порядка равны нулю. Как следствие:

 
 

Арифметические операцииПравить

  • Сложение
     
  • Вычитание
     
  • Умножение
     
  • Деление
     

КорниПравить

Корень n-й степени из числа вида   определяется как:

 

ДифференцированиеПравить

Дуальные числа тесно связаны с дифференцированием функций. Рассмотрим аналитическую функцию  , область определения которой можно естественным образом продолжить до кольца дуальных чисел. Можно легко показать, что

 

Таким образом, производя вычисления не над вещественными, а над дуальными числами, можно автоматически получать значение производной функции в точке. Особенно удобно рассматривать таким образом композиции функций.

Можно провести аналогию между дуальными числами и числами нестандартного анализа. Мнимая единица ε кольца дуальных чисел подобна бесконечно малому числу нестандартного анализа: любая степень (выше первой)   в точности равна 0, в то время как любая степень бесконечно малого числа приблизительно равна 0 (является бесконечно малой более высокого порядка). Значит, если   — бесконечно малое число, то с точностью до   кольцо гипердействительных чисел вида   изоморфно кольцу дуальных чисел.

ПримечанияПравить

  1. Дж. Хамфри. Линейные алгебраические группы. — М.: Наука, 1980. — см. стр. 121

ЛитератураПравить