Двойные числа

(перенаправлено с «Паракомплексные числа»)
О гиперкомплексных числах параболического типа см. дуальные числа

Двойны́е чи́сла, или паракомпле́ксные чи́сла, расщепля́емые компле́ксные чи́сла, компле́ксные чи́сла гиперболи́ческого ти́па, контркомпле́ксные чи́сла[1] — гиперкомплексные числа вида «a + j · b», где a и b — вещественные числа и причём j ≠ ±1.

ОпределениеПравить

Алгебраическое определениеПравить

Любое двойное число можно представить как упорядоченную пару вещественных чисел   Сложение и умножение определяются по правилам:

 
 

Числа вида   отождествляются с вещественными числами, а   Тогда соответствующие тождества принимают вид:

 
 

Матричное представлениеПравить

Двойные числа можно представить как матрицы из вещественных чисел, при этом сложению и умножению двойных чисел будут соответствовать сложение и умножение соответствующих матриц:

 
 

Арифметические операцииПравить

  • Сложение:
     
  • Вычитание:
     
  • Умножение:
     
  • Деление на число, не являющееся делителем нуля:
     

СвойстваПравить

  где sh и ch — гиперболические синус и косинус.
 
 

Двойные числа образуют двумерную ассоциативно-коммутативную алгебру над полем вещественных чисел. Алгебра двойных чисел содержит делители нуля (то есть такие ненулевые элементы z и w, что zw = 0) и поэтому, в отличие от алгебры комплексных чисел, не является полем. Все делители нуля имеют вид  

Если взять   и   то

    и  

Любое двойное число может быть представлено как сумма   где   и   — вещественные числа. В таком представлении сложение и умножение производится покоординатно.

Таким образом, алгебра двойных чисел может быть разложена в прямую сумму двух полей вещественных чисел.

ПрименениеПравить

Двойные числа иногда применяются в релятивистской кинематике.

ПримечанияПравить

СсылкиПравить