Слабая сходимость: различия между версиями

Пусть <math>X = C[a,b]</math> — [[Пространство непрерывных функций|пространство непрерывных функций]] на отрезке <math>[a,b]</math> с нормой, определенной равномерной сходимостью (сильная сходимость). Последовательность функций <math>\{ x_n(\cdot)\}</math> слабо сходится к функции <math>x_0(\cdot)</math>, еслитогда и только еслитогда, когда выполянются два условия: 1) она является равномерно ограниченной, то есть <math>|x_n(t)| \leq C</math> при всех <math>t \in [a,b]</math> для некоторого положительного числа <math>C</math>, и 2) <math>\{ x_n(\cdot)\}</math> сходится к <math>x_0(\cdot)</math> поточечно, то есть числовая последовательность <math>\{x_n(t)\}</math> сходится к <math>\{x_0(t)\}</math> придля каждомлюбого <math>t \in [a,b]</math>.