Слабая сходимость

Слабая сходимость в функциональном анализе — вид сходимости в топологических векторных пространствах.

ОпределениеПравить

Пусть   — топологическое поле,   топологическое векторное пространство над полем   и  сопряжённое пространство, состоящее из всех непрерывных линейных функционалов на  . Тогда слабой топологией пространства   называется самая слабая из топологий, в которой непрерывны все линейные функционалы, непрерывные в исходной топологии этого пространства.

Предбазу слабой топологии образуют множества

 

для всех  ,  , и  .

Иначе говоря, последовательность элементов   слабо сходится к элементу  , если для любого непрерывного линейного функционала   последовательность чисел   сходится к  .

Слабой* топологией в   называют топологию, предбазу которой образуют множества

 

для всех  ,  , и  .

Иначе говоря, последовательность функций   слабо* сходится к функции  , если для любого  , последовательность чисел   сходится к  .

ЗамечанияПравить

Сходимость в пространстве  , определяемая его исходной топологией, называется сильной.

СвойстваПравить

  • Если последовательность сходится к некоторому элементу сильно, то она сходится к этому элементу и слабо.
  • В конечномерном евклидовом пространстве понятия сильной и слабой сходимости совпадают.
  • В случае, когда   — нормированное векторное пространство, имеют место следующие утверждения. Слабо сходящаяся последовательность элементов   является ограниченной, то есть   для некоторого положительного числа  . Последовательность элементов   слабо сходится к элементу  , если она является ограниченной и   сходится к   для каждого непрерывного линейного функционала из некоторого подмножества пространства  , линейная оболочка которого всюду плотна в  .
  • Теорема Банаха — Алаоглу — Бурбаки. Замкнутый единичный шар пространства   компактен в слабой* топологии пространства  .
  • Теорема Эберлейна — Шмульяна. Подмножество   банахова пространства   слабо компактно тогда и только тогда, когда оно слабо секвенциально компактно.

ПримерПравить

Пусть   — пространство непрерывных функций на отрезке   с нормой, определенной равномерной сходимостью (сильная сходимость). Последовательность функций   слабо сходится к функции   тогда и только тогда, когда выполняются два условия: 1) она является равномерно ограниченной, то есть   при всех   для некоторого положительного числа  , и 2)   сходится к   поточечно, то есть числовая последовательность   сходится к   для любого  .

ЛитератураПравить