Числовая последовательность: различия между версиями
| [непроверенная версия] | [непроверенная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Метки: с мобильного устройства из мобильной версии |
викификация и оформление |
||
Строка 71:
== Некоторые виды последовательностей ==
* '''''Стационарная последовательность''''' — это последовательность, все члены которой, начиная с некоторого, равны.
*: <math>(x_n)</math> стационарная <math>\Leftrightarrow \left( \exists N \in \N ~ \forall i,j \in \N \colon \left( i \geqslant N \right) \land \left( j \geqslant N \right) \Rightarrow \left( x_i = x_j \right) \right)</math>.
=== Ограниченные и неограниченные последовательности ===
Строка 77:
* '''''Ограниченная сверху последовательность''''' — это последовательность элементов множества <math>X</math>, все члены которой не превышают некоторого элемента из этого множества. Этот элемент называется '''''верхней гранью''''' данной последовательности.
*: <math>(x_n)</math> ограниченная сверху <math>\Leftrightarrow \exists M \in X ~ \forall n \in \N \colon x_n \leqslant M</math>.
* '''''Ограниченная снизу последовательность''''' — это последовательность элементов множества <math>X</math>, для которой в этом множестве найдётся элемент, не превышающий всех её членов. Этот элемент называется '''''нижней гранью''''' данной последовательности.
*: <math>(x_n)</math> ограниченная снизу <math>\Leftrightarrow \exists m \in X ~ \forall n \in \N \colon x_n \geqslant m</math>.
* '''''Ограниченная последовательность''''' ('''''ограниченная с обеих сторон последовательность''''') — это последовательность, ограниченная и сверху, и снизу.
*: <math>(x_n)</math> ограниченная <math>\Leftrightarrow \exists m,M \in X ~ \forall n \in \N \colon m \leqslant x_n \leqslant M</math>.
* '''''Неограниченная последовательность''''' — это последовательность, которая не является ограниченной.
*: <math>(x_n)</math> неограниченная <math>\Leftrightarrow \forall m,M \in X ~ \exists n \in \N \colon \left( x_n < m \right) \lor \left( x_n > M \right)</math>.
==== Критерий ограниченности числовой последовательности ====
Числовая последовательность является ограниченной тогда и только тогда, когда существует такое число, что [[Абсолютная величина|модули]] всех членов последовательности не превышают его.
: <math>(x_n)</math> ограниченная <math>\Leftrightarrow \exists A \in \R ~ \forall n \in \N \colon | x_n | \leqslant A</math>.
==== Свойства ограниченных последовательностей ====
Строка 99:
=== Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности ===
{{main|Бесконечно малая и бесконечно большая}}
* ''''' * '''''Бесконечно большая последовательность''''' — это последовательность,
Бесконечно большая последовательность не имеет предела. Lim(...)=+inf - это условное обозначение. -->
| |||