Википедия

Преобразование Лапласа: различия между версиями

Интерактивная навигация по истории
[непроверенная версия][отпатрулированная версия]
← Предыдущая правкаСледующая правка →
Содержимое удалено Содержимое добавлено
ВизуальныйВики-текст
м откат правок 185.239.132.180 (обс.) к версии Arventur
Метка: откат
м оформление
Строка 20:
Обратным преобразованием Лапласа [[функция (математика)|функции]] комплексного переменного <math>F(s)\ </math> называется функция <math>f(t)\ </math> вещественной переменной, такая что:
: <math>f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}=\frac{1}{2\pi i} \lim_{\omega \rightarrow \infty} \int\limits_{\sigma_1-i \omega}^{\sigma_1+i \omega} e^{st}F(s)\,ds,</math>
где <math>\sigma_1\ </math> — некоторое вещественное число (см. [[Преобразование Лапласа#Условие существования обратного преобразования Лапласа|условия существования]]). Правая часть этого выражения называется ''интегралом Бромвича''<ref>''Жевержеев  В.  Ф., КАльницкий Кальницкий Л.  А., Сапогов  Н.  А.'' Специальный курс высшей математики для втузов. - — М., [[Высшая школа (издательство)|Высшая школа]], 1970. - — с. 231</ref>.
 
=== Двустороннее преобразование Лапласа ===
Строка 106:
! № || Функция || Временная область<br><math>x(t)=\mathcal{L}^{-1}\{X(s)\}</math> || Частотная область<br><math>X(s)=\mathcal{L}\{x(t)\}</math> || Область сходимости<br>для ''[[причинная система|причинных]] систем''
|- align="center"
| 1 || [[Дельта-функция|дельта-функция]] || <math>\delta(t)\ </math> || <math>1\ </math> || <math>\forall s\ </math>
|- align="center"
| 1a || запаздывающая дельта-функция || <math>\delta(t-\tau)\ </math> || <math>e^{-\tau s}\ </math> ||
Строка 117:
| 2a.1 || степенная <math>q</math>-го порядка || <math>\frac{t^q}{\Gamma(q+1)}\cdot H(t)</math> || <math>\frac{1}{s^{q+1}}</math> || <math>s>0</math>
|- align="center"
| 2a.2 || [[Функция Хевисайда|функция Хевисайда]] || <math>H(t)\ </math> || <math>\frac{1}{s}</math> || <math>s>0</math>
|- align="center"
| 2b || функция Хевисайда с запаздыванием || <math>H(t-\tau)\ </math> || <math>\frac{e^{-\tau s}}{s}</math> || <math>s>0</math>
Строка 145:
| 11 || [[натуральный логарифм]] || <math>\ln\left(\frac{t}{t_0}\right)\cdot H(t)</math> || <math>-\frac{t_0}{s}[\ln(t_0s)+\gamma]</math> || <math>s>0</math>
|- align="center"
| 12 || [[функция Бесселя]]<br>первого рода<br>порядка <math>n</math> || <math>J_n(\omega t)\cdot H(t)</math> || <math>\frac{\omega^n\left(s+\sqrt{s^2+\omega^2}\right)^{-n}}{\sqrt{s^2+\omega^2}}</math> || <math>s>0\ </math><br /><math>(n>-1)\ </math>
|- align="center"
| 13 || модифицированная функция Бесселя<br>первого рода<br>порядка <math>n</math> || <math>I_n(\omega t)\cdot H(t)</math> || <math>\frac{\omega^n\left(s+\sqrt{s^2-\omega^2}\right)^{-n}}{\sqrt{s^2-\omega^2}}</math> || <math>s>|\omega|\ </math>
Строка 151:
| 14 || функция Бесселя<br>второго рода<br>нулевого порядка || <math>Y_0(\alpha t)\cdot H(t)\ </math> || <math>-\frac{2\mathrm{arsh}(s/\alpha) }{\pi\sqrt{s^2+\alpha^2}}</math> || <math>s>0\ </math>
|- align="center"
| 15 || модифицированная функция Бесселя<br />второго рода<br>нулевого порядка || <math>K_0(\alpha t)\cdot H(t)</math> ||   ||  
|- align="center"
| 16 || [[функция ошибок]] || <math>\mathrm{erf}(t)\cdot H(t)</math> || <math>\frac{e^{s^2/4}\mathrm{erfc}(s/2)}{s}</math> || <math>s>0</math>
Строка 169:
== Применения преобразования Лапласа ==
Преобразование Лапласа находит широкое применение во многих областях [[математика|математики]] ([[операционное исчисление]]), [[физика|физики]] и [[техника|техники]]:
* Решение систем [[дифференциальные уравнения|дифференциальных]] и [[интегральные уравнения|интегральных]] уравнений — с помощью преобразования Лапласа легко переходить от сложных понятий [[математический анализ|математического анализа]] к простым алгебраическим соотношениям.<ref>''[[Ващенко-Захарченко, Михаил Егорович|Ващенко-Захарченко  М.  Е.]]'' Символическое исчисление и приложение его к интегрированию линейных дифференциальных уравнений. — Киев, 1862.</ref>
* Расчёт [[передаточная функция|передаточных функций]] динамических систем, таких, к примеру, как [[аналоговый фильтр|аналоговые фильтры]].
* Расчёт выходных сигналов динамических систем в [[теория управления|теории управления]] и [[обработка сигналов|обработке сигналов]] — так как выходной сигнал [[линейная стационарная система|линейной стационарной системы]] равен [[свёртка (математический анализ)|свёртке]] её [[импульсная переходная функция|импульсной характеристики]] с входным сигналом, преобразование Лапласа позволяет заменить эту операцию на простое умножение.
* Расчёт электрических схем. Производится путём решения дифференциальных уравнений, описывающих схему операторным методом.
* Решение нестационарных задач [[математическая физика|математической физики]].
 
 
Процедура решения дифференциального уравнения с использованием преобразования Лапласа состоит в следующем:
 
# По заданному входном воздействию с помощью таблиц соответствий находят изображение.
# По д.у. составляю передаточную функцию.
# Находят изображение величины пунктов 1 и 2.
# Определяют оригинал.<ref>{{Статья|год=2018-03-20|doi=10.14357/20718632180109|issn=2071-8632|издание=Информационные технологии и вычислительные системы|заглавие=Архитектура системы автоматического управления группой малых беспилотных летательных аппаратов|ссылка=http://dx.doi.org/10.14357/20718632180109}}</ref>
 
Строка 241 ⟶ 239 :
== Ссылки ==
{{Навигация}}
* [http://ru.dsplib.org/content/laplace/laplace.html Преобразование Лапласа и его некоторые свойства (dsplib.org)]
* [http://www.exponenta.ru/educat/class/courses/tfkp/theme12/theory.asp Преобразование Лапласа на сайте exponenta.ru]
 
Источник — https://ru.wikipedia.org/wiki/Преобразование_Лапласа