|
'''Фактор-множествоФактормножество''' — множество всех классов эквивалентности для заданного [[отношение эквивалентности|отношения эквивалентности]] <math>\sim</math> на множестве <math>X</math>, обозначается <math>X/\!\sim</math>. Разбиение множества на классы эквивалентных элементов называется его '''''факторизацией'''''.
Отображение из <math>X</math> в множество классов эквивалентности <math>X/\!\sim</math> называется '''''фактор-отображениемфакторотображением'''''. Благодаря свойствам отношения эквивалентности, разбиение на множества единственно. Это означает, что классы, содержащие <math>\forall x,\;y\in X</math>, либо не пересекаются, либо совпадают полностью.
Для любого элемента <math>x\in X</math> однозначно определён некоторый класс из <math>X/\!\sim</math>, иными словами существует [[сюръективное отображение]] из <math>X</math> в <math>X/\!\sim</math>. Класс, содержащий <math>x</math>, иногда обозначают <math>[x]</math>.
Если множество снабжено структурой, то часто отображение <math>X\to X/\!\sim</math> можно использовать, чтобы снабдить фактор-множествофактормножество <math>X/\!\sim</math> той же структурой; например классы эквивалентности [[топологическое пространство|топологического пространства]] можно снабдить индуцированной топологией ([[факторпространство|фактор-пространство]]), классы эквивалентности алгебраической системы снабдить теми же операциями и отношениями ([[факторсистема|фактор-система]]).
== Применения и примеры ==
Если задано [[сюръективное отображение]] <math>f\colon X\to Y</math>, тогда на множестве <math>X</math> задаётся отношение <math>x\sim x'\iff f(x)=f(x')</math>. Можно рассмотреть фактормножество <math>X/\!\sim</math>. Функция <math>f</math> задаёт естественное [[Взаимно-однозначное отображение|взаимно-однозначное]] соответствие между <math>X/\!\sim</math> и <math>Y</math>.
Факторизацию множества разумно применять для получения нормированных пространств из полунормированных, пространств со скалярным произведением из пространств с почти скалярным произведением и пр. Для этого вводится соответственно норма класса, равная норме произвольного его элемента, и скалярное произведение классов как скалярное произведение произвольных элементов классов. В свою очередь отношение эквивалентности вводится следующим образом (например для образования нормированного фактор-пространствафакторпространства): вводится подмножество исходного полунормированного пространства, состоящее из элементов с нулевой полунормой (кстати, оно линейно, то есть является подпространством) и считается, что два элемента эквивалентны, если разность их принадлежит этому самому подпространству.
Если для факторизации линейного пространства вводится некоторое его подпространство и считается, что если разность двух элементов исходного пространства принадлежит этому подпространству, то эти элементы эквивалентны, то фактор-множествофактормножество является линейным пространством и называется фактор-пространствомфакторпространством.
[[Проективная плоскость|Проективную плоскость]] <math>\R P^2</math> можно определить как фактор-пространствофакторпространство [[Сфера#Двумерная сфера (в трёхмерном пространстве)|двумерной сферы]], задав отношение эквивалентности <math>(x,\;y,\;z)\sim(-x,\;-y,\;-z)</math>.
[[Бутылка Клейна|Бутылку Клейна]] можно представить как фактор-пространствофакторпространство цилиндра <math>S^1\times[0,\;1]</math> по отношению эквивалентности <math>(\varphi,\;0)\sim(-\varphi,\;1)</math> (<math>\varphi\in[-\pi,\;\pi]</math> — угловая координата на окружности).
== Свойства ==
Фактор-отображенияФакторотображения {{nowrap|''q'' : ''X'' → ''Y''}} описывается среди сюръективных отображений следующим свойством: если ''Z'' является каким-либо топологическим пространством и {{nowrap|''f'' : ''Y'' → ''Z''}} является какой-либо функцией, то ''f'' является непрерывным тогда и только тогда, когда {{nowrap|''f'' ∘ ''q''}} непрерывна.
[[Файл:QuotientSpace-01.svg|center|Характеризующее свойство фактортопологии]]
Фактор-пространствоФакторпространство ''X''/~ вместе с фактор-отображениемфакторотображением {{nowrap|''q'' : ''X'' → ''X''/~}} описывается следующим [[Универсальное свойство|универсальным свойством]]: если {{nowrap|''g'' : ''X'' → ''Z''}} является непрерывным отображением, таким что если из {{nowrap|''a'' ~ ''b''}} следует {{nowrap|1=''g''(''a'') = ''g''(''b'')}} для всех ''a'' и ''b'' из ''X'', то существует единственное отображение {{nowrap|''f'' : ''X''/~ → ''Z''}}, такое что {{nowrap|1=''g'' = ''f'' ∘ ''q''}}. Мы говорим, что ''g'' ''спускается до фактор-отображенияфакторотображения''.
Непрерывные отображения, определённые на ''X''/~ поэтому являются в точности такими отображениями, которые возникают из непрерывных отображений, определённых на ''X'', которые удовлетворяют отношению эквивалентности (в смысле, что они переводят эквивалентные элементы в один и тот же образ). Этот критерий обширно используется при изучении фактор-пространствфакторпространств.
Если дана непрерывная сюръекция {{nowrap|''q'' : ''X'' → ''Y''}}, полезно иметь критерий, по которому можно определить, является ли ''q'' фактор-отображениемфакторотображением. Два достаточных критерия — ''q'' является {{не переведено 5|Открытые и закрытые отображения|открытым||open map}} или {{не переведено 5|Открытые и закрытые отображения|закрытым отображением||open map}}. Заметим, что эти условия являются лишь [[Необходимое и достаточное условие|достаточными]], но не [[Необходимое и достаточное условие|достаточными]]. Легко построить примеры фактор-отображенийфакторотображений, которые не являются ни открытыми, ни закрытыми. Для топологических групп фактор-отображениефакторотображение является открытым.
== Совместимость с другими топологическими понятиями ==
{{перенести раздел|Факторпространство}}
* [[Аксиомы отделимости|Отделимость]]
** В общем случае фактор-пространствафакторпространства плохо себя ведут относительно аксиом отделимости. Свойства отделимости множества ''X'' не обязательно наследуются при ''X''/~ и ''X''/~ могут иметь свойства отделимости, не существующие в ''X''.
** ''X''/~ является {{не переведено 5|Пространство T1|пространством T<sub>1</sub>||T1 space}} тогда и только тогда, когда любой класс эквивалентности ~ замкнут в ''X''.
** Если фактор-отображениефакторотображение {{не переведено 5|Открытые и закрытые отображения|открыто||open map}}, то ''X''/~ является [[Хаусдорфово пространство|хаусдорфовым пространством]] тогда и только тогда, когда ~ является замкнутым подмножеством [[Произведение топологических пространств|произведения пространств]] ''X''×''X''.
* [[Связное пространство|Связность]]
** Если пространство связно или [[Линейно связное пространство|линейно связно]], то таковыми являются все его фактор-пространствафакторпространства.
** Фактор-пространствоФакторпространство [[Односвязное пространство|односвязного]] или [[Стягиваемое пространство|стягиваемого]] пространства не обязательно будет обладать этими свойствами.
* [[Компактное пространство|Компактность]]
** Если пространство компактно, таковыми будут и все его фактор-пространствафакторпространства.
** Фактор-пространствоФакторпространство [[Локально компактное пространство|локально компактного]] пространства не обязательно локально компактно.
* [[Размерность пространства]]
** [[Размерность Лебега|Топологическая размерность]] фактор-пространствафакторпространства может быть больше (а может быть и меньше) размерности исходного пространства; [[Кривая Пеано|заполняющие пространство кривые]] дают такие примеры.
{{rq|style|sources|tex}}
| 