Википедия

Теорема Брауэра о неподвижной точке: различия между версиями

Интерактивная навигация по истории
[непроверенная версия][непроверенная версия]
← Предыдущая правкаСледующая правка →
Содержимое удалено Содержимое добавлено
ВизуальныйВики-текст
Нет описания правки
Строка 10:
== Доказательство ==
 
Из подсчёта [[гомологии|гомологичеких]] или [[гомотопическая группа|гомотопических групп]] сферы и шара вытекает, что не существует [[ретракт|ретракции]] шара на его границу.
Теорему Брауэра легко вывести из того факта, что не существует [[ретракт|ретракции]] шара на его границу. Действительно, пусть <math>f \colon B^n\to B^n\!\,</math> -- отображение шара в себя, не имеющее неподвижных точек. Построим на его основе ретракцию шара на его границу. Для каждой точки <math>x</math> рассмотрим прямую, проходящую через точки <math>x</math> и <math>f(x)</math> (она единственна, так как по предволожнию неподвижных точек нет.). Пусть <math>y</math> -- точка пересечения этой прямой с границей шара, причем <math>x</math> лежит между <math>f(x)</math> и <math>y</math>. Лекго видеть, что отображение <math>x\mapsto y</math> -- ретракция шара на его границу. Противоречие.
 
Пусть теперь <math>f \colon B^n\to B^n</math> — отображение шара в себя, не имеющее неподвижных точек.
Построим на его основе ретракцию шара на его границу.
Для каждой точки <math>x</math> рассмотрим прямую, проходящую через точки <math>x</math> и <math>f(x)</math> (она единственна, так как по предволожнию неподвижных точек нет.).
Пусть <math>y</math> — точка пересечения этой прямой с границей шара, причем <math>x</math> лежит между <math>f(x)</math> и <math>y</math>.
Лекго видеть, что отображение <math>x\mapsto y</math> — ретракция шара на его границу.
Противоречие.
 
== Обобщения ==
Источник — https://ru.wikipedia.org/wiki/Теорема_Брауэра_о_неподвижной_точке