Функция Ляпунова: различия между версиями

В теории устойчивости решений дифференциальных уравнений '''функция Ляпунова''' — [[Скалярная величина|скалярная функция]], которая используется, если имеется [[обыкновенное дифференциальное уравнение]] или система обыкновенных дифференциальных уравнений и необходимо исследовать [[устойчивость]] их решений с помощью второго (прямого) метода Ляпунова.

Второй метод Ляпунова не требует нахождения самих решений дифференциальных уравнений, благодаря чему можно исследовать сложные [[Нелинейная система|нелинейные системы]]. Однако нахождение подходящей функции Ляпунова всегда являлось очень сложной задачей. Есть ряд исследованных случаев, для которых теоретически выводится критерий устойчивости с помощью общих теорем и функций Ляпунова. Например, устойчивость по первому приближению. Благодаря этому, второй метод Ляпунова является методом, имеющим, главным образом теоретический интерес, поскольку построение вспомогательных функций требует от исследователя неординарной математической интуиции. Однако, этот метод имеет и важное практическое значение<ref>{{Книга|автор = Руш Н., Абетс П., Лалуа М.|заглавие = Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости|ответственный = |издание = |место = Москва|издательство = Мир|год = 1980|страницы = 7-87—8|страниц = 300|isbn = }}</ref>.

== Уравнения возмущенного движения<ref name=":0" /> ==

: <math>\frac{dx_i}{dt}=X_i(x_1,x_2,...,x_n)</math>

Функцией Ляпунова называется некоторая функция <math>n</math> переменных <math>V(x_1,x_2,...,x_n),</math>, принимающая вещественные значения и удовлетворяющая свойствам:

# <math>V(0,0,...,0)=0;</math>;

будет [[производная по времени]] кандидата на функцию Ляпунова <math>V.</math>.

в некоторой окрестности <math>\mathcal{B}</math> точки <math>0,</math>, тогда точка равновесия является устойчивой.

в некоторой окрестности <math>\mathcal{B}</math> точки <math>0,</math>, тогда точка равновесия является локально асимптотически устойчивой .

: <math>\| x \| \to \infty \Rightarrow V(x) \to \infty .</math>.

Рассмотрим следующее дифференциальное уравнение с решением x на <math>\mathbb{R}:</math>:

Принимая во внимание то, что функция <math>x^2</math> положительна в любой окрестности начала координат без точки нуль, она будет естественным кандидатом функции Ляпунова для изучения поведения <math>x.</math>. Итак, пусть <math>V(x)=x^2</math> на <math>\mathbb{R}\setminus\{0\}.</math>. Тогда,

Но в 2014 году вышла статья<ref>{{Статья|автор=Myroslav Sparavalo|заглавие=The Lyapunov Concept of Stability from the Standpoint of Poincare Approach: General Procedure of Utilization of Lyapunov Functions for Non-Linear Non-Autonomous Parametric Differential Inclusions|ссылка=http://arxiv.org/abs/1403.5761|издание=arXiv:1403.5761 [cs]|год=2014-03-23}}</ref>, в которой впервые предложена процедура построения функций Ляпунова в самом общем случае, если для заданной многомерной неавтономной нелинейной системы известен полный набор первых интегралов или хотя бы их {{iw|уровневые сечения||en|Level set}}. В ней показано как функции Ляпунова топологически связывают устойчивость системы с её внутренними интегральными и дифференциальными свойствами. Под первыми подразумеваются первые интегралы и их уровневые сечения, которые являются инвариантными многообразиями коразмерности один или иначе инвариатными гиперповерхностями. А под вторыми — векторные поля и поля индикатрис. Следует отметить, что работы в этом направлении велись достаточно долго и упорно, но несмотря на это максимум чего удалось добиться — это построить функции Ляпунова в виде связок (в большинстве своём полиномов) первых интегралов для целого ряда частных случаев. Начало данному подходу положил российский советский механик и математик Н. Г. Четаев, который в своей знаменитой книге "«Устойчивость движения"» использовал квадратичную форму.

с заданной интегральной кривой <math>x_t = (t, x(t, x_0)),</math>, чью устойчивость требуется изучить, в форме топологических слоений, где <math>x = (x_1, ...,x_n )</math> — фазовый вектор, <math>f(t, x) = (f_1(t, x), ...,f_n(t, x))</math> — векторное поле, <math>t\in[t_0; +\infty[</math> — время, <math>x(t, x_0)</math> — частное решение системы дифференциальных уравнений, описывающих исходную динамическую систему, с начальной фазовой точкой <math>x_0.</math>.

выпрямляющего интегральную кривую <math>x_t,</math>, до нового преобразования, делающего все <math>n</math> <math>n</math>-мерные инвариантные многообразия или гиперповерхности, которые её образуют, взаимно пересекаясь, плоскими, где <math>z = (z_1, ..., z_n).</math>. Новое преобразование называется каскадом последовательных выпрямляющих диффеоморфизмов, которое приводит к результирующему канонизирующему диффеоморфизму <math>x = \psi(y),</math>, где <math>y = (y_1, ..., y_n).</math>. Последнее означает, что исходная динамическая система приобретает каноническую форму, для которой все её <math>n</math> инвариантные гиперповерхности превращаются в соответствующие [[Гиперплоскость|гиперплоскости]], тоже инвариантные.

: <math>\psi:\{{dx_1 \over dt} = f(t, x), {dx_2 \over dt} = f(t, x)\}\longleftrightarrow\{{dy_1 \over dt} = f_1^2(t, y), {dy_2 \over dt} = f_2^2(t, y)\},</math>,

: где <math>x = (x_1, x_2),</math>, <math>y = (y_1, y_2),</math>, <math>f_1^2(t, y)\equiv0,</math>, если <math>y_1 = 0</math> и <math>f_2^2(t, y)\equiv0,</math>, если <math>y_2 = 0.</math>.

Первая идея графически поясняется графиком A. Вторая — графиками B и C, а третья — графиком D, где <math>p_1:S_1^+{\cup}S_1^0{\cup}S_1^-{\longrightarrow}Y_1^+{\cup}Y_1^0{\cup}Y_1^+,</math> .