Неравенство Коши — Буняковского: различия между версиями

[[File:Kbs-permutation-proof.gif|thumb|300px|Схема доказательства неравенства для одной последовательности через [[перестановочное неравенство]].]]

 

 

 

: <math>{\left({ \sum \limits_{i=1}^{n} {x_i} }\right)}^2

* сравнивая каждое слагаемое отдельно, применяя [[неравенство между средним геометрическим и средним арифметическим]] для двух переменных <math>a=x_i y_j,\ b=x_j y_i</math>, что по сути соответствует [[#систематизация_сумм_квадратов|рассмотрению суммы квадратов]] вида <math>\sum \limits_{i=1}^{n} \sum \limits_{j=1}^{n} {(x_i y_j - x_j y_i)^2}</math> или нормы соответствующего вектора в [[Тензорное произведение|тензорном произведении]] произвольных гильбертовых пространств.<ref>См. доказательства 1, 6 (для случая <math>n=2</math>) и 12 (после раскрытия индукции, то есть суммирования различных <math>S_{n+1} - S_n</math>) в {{sfn0|Wu|2009}}.</ref>

 

 

Неравенство можно получить с помощью индукции, шагом которой для перехода от <math>n</math> к <math>(n+1)</math>-ому слагаемому будет применение того же неравенства для двух слагаемых. Предположение индукции для последовательнсотей <math>(x_i)_{i=1}^{n}</math>, <math>(y_i)_{i=1}^{n}</math> даёт неравенство