|
[[Файл:Homotopy example.gif|right|Гомотопия]]
'''Гомото́пия''' — семейство [[непрерывное отображение|непрерывных отображений]] <math>F_t\colon X\to Y,\; t\in [0,1],</math>, «непрерывно зависящих от параметра»., Болееболее точноеточно — определениенепрерывное даноотображение ниже<math>F\colon[0,1]\times X\to Y</math>.
*ИзГомотопия определениязадаёт очевидно,[[отношение эквивалентности]] между чтонепрерывными еслиотображениями <math> X\to Y</math>. Если <math>X</math> и <math>Y</math> [[гомеоморфизм|гомеоморфны]] (<math>X\simeq Y</math>), то они гомотопически эквивалентны .; обратное в общем Обратноеслучае неверно. ▼== Определение ==
[[File:HomotopySmall.gif|thumb|Гомотопия пути <math>([0,1]=X)</math> с фиксированными концами.]]
Пусть <math>X</math> и <math>Y</math> [[топологическое пространство|топологические пространства]].
Гомотопией называется непрерывное отображение <math>F\colon[0,1]\times X\to Y</math>.
* '''Гомотопные отображения.''' Отображения <math>f,g\colon X\to Y</math> называются ''гомотопными '' или (<math>g\sim f</math> ), если существует ''гомотопия '' <math>f_t</math> такая, что <math>f_0=f</math> и <math>f_1=g</math>. ▼При этом значение <math>F(t,x)</math> чаще обозначается <math>F_t(x)</math>.
* '''Гомотопическая эквивалентность ''' топологических пространств <math>X</math> и <math>Y</math> есть — пара непрерывных отображений <math>f\colon X\to Y</math> и <math>g\colon Y\to X</math> такая, что <math>f\circ g\sim\operatorname{id}_Y</math> и <math>g\circ f\sim\operatorname{id}_X</math>, здесь <math>\sim</math> обозначает ''гомотопность отображений . В этом случае также говорят, что <math>X</math> с <math>Y</math> имеют один '' .гомотопический тип''.▼== Связанные определения ==
[[Файл:Mug and Torus morph.gif|right|thumb|Гомотопическая эквивалентность бублика и кружки]]
* '''Гомотопический инвариант ''' — это характеристика пространства, которая сохраняется при ''гомотопической эквивалентности топологических пространств ''.; Тото есть, если два пространства гомотопически эквиваленты, то они имеют одинаковую характеристику. Например: [[Связное пространство|связность]], [[фундаментальная группа]], [[эйлерова характеристика]]. ▼▲* '''Гомотопные отображения.''' Отображения <math>f,g\colon X\to Y</math> называются гомотопными или <math>g\sim f</math>, если существует ''гомотопия'' <math>f_t</math> такая, что <math>f_0=f</math> и <math>f_1=g</math>.
**Отображение <math>f\colon X\to Y</math> называется ''слабой гомотопической эквивалентностью'' если оно индуцирует изоморфизм [[гомотопическая группа|гомотопических групп]]. Подпространство <math>A</math> топологического пространства <math>X</math> такое, что включение <math>A\subset X</math> является слабой гомотопической эквивалентностью называется '''репрезентативным подпространством'''. ▼▲* '''Гомотопическая эквивалентность''' топологических пространств <math>X</math> и <math>Y</math> есть пара непрерывных отображений <math>f\colon X\to Y</math> и <math>g\colon Y\to X</math> такая, что <math>f\circ g\sim\operatorname{id}_Y</math> и <math>g\circ f\sim\operatorname{id}_X</math>, здесь <math>\sim</math> обозначает ''гомотопность отображений''.
**В этом случае говорят, что <math>X</math> и <math>Y</math> '''гомотопически эквивалентны''', или <math>X</math> с <math>Y</math> имеют один '''гомотопический тип'''. Обычно это отношение записывается как <math>X\sim Y</math>.
* Если на некотором подмножестве <math>A\subset X,\; F(t,a)=f(a)</math> для всех <math>t</math> при <math>a\in A</math>, то <math>F</math> называется гомотопией относительно <math>A</math>, а <math>f</math> и <math>g</math> гомотопными относительно <math>A</math>. ▼▲* '''Гомотопический инвариант''' — это характеристика пространства, которая сохраняется при ''гомотопической эквивалентности топологических пространств''. То есть, если два пространства гомотопически эквиваленты, то они имеют одинаковую характеристику. Например: [[Связное пространство|связность]], [[фундаментальная группа]], [[эйлерова характеристика]].
* '''[[Изотопия]] ''' — гомотопия топологического пространства <math>X</math> по топологическому пространству <math>Y</math> <math> f_t\colon X\to Y,\; t\in[0,1]</math>, в которой при любом <math>t</math> отображение <math>f_t</math> является [[гомеоморфизм]]ом <math>X</math> на <math>f_t(X)\subset Y</math>. ▼* Отображение <math>f\colon X\to Y</math> называется '''слабой гомотопической эквивалентностью''' если оно индуцирует изоморфизм [[гомотопическая группа|гомотопических групп]].
▲** Подпространство <math>A</math> топологического пространства <math>X</math> такое, что включение <math>A\subset X</math> является слабой гомотопической эквивалентностью называется '''репрезентативным подпространством'''.
* Отображение, гомотопное постоянному, то есть отображению в точку, называют '''стягиваемым ''' или '''гомотопным нулю '''. ▼▲* Если на некотором подмножестве <math>A\subset X,\; F(t,a)=f(a)</math> для всех <math>t</math> при <math>a\in A</math>, то <math>F</math> называется гомотопией относительно <math>A</math>, а <math>f</math> и <math>g</math> гомотопными относительно <math>A</math>.
▲* '''[[Изотопия]]''' — гомотопия топологического пространства <math>X</math> по топологическому пространству <math>Y</math> <math> f_t\colon X\to Y,\; t\in[0,1]</math>, в которой при любом <math>t</math> отображение <math>f_t</math> является [[гомеоморфизм]]ом <math>X</math> на <math>f_t(X)\subset Y</math>.
* [[Гомотопические группы]] ▼
* [[Фундаментальная группа]] ▼▲* Отображение, гомотопное постоянному, то есть отображению в точку, называют '''стягиваемым''' или '''гомотопным нулю'''.
== Свойства ==
* Гомотопия задаёт [[отношение эквивалентности]] между непрерывными отображениями <math> X\to Y</math>
▲*Из определения очевидно, что если <math>X</math> и <math>Y</math> [[гомеоморфизм|гомеоморфны]] (<math>X\simeq Y</math>), то они гомотопически эквивалентны. Обратное неверно.
== Литература ==
|isbn = 5-7036-0036-7
}}
* ''Рохлин В. А., Фукс Д. Б.'' Начальный курс топологии. Геометрические главы. — {{М}}: Наука, 1977
* ''Спеньер Э.'' Алгебраическая топология. — {{М}}: Мир, 1971
{{Викисловарь|гомотопия}}
▲* [[Гомотопические группы]]
▲* [[Фундаментальная группа]]
{{topology-stub}}
| 