Гомотопия: различия между версиями
| [отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Tosha (обсуждение | вклад) Нет описания правки |
Нет описания правки |
||
Строка 2:
'''Гомото́пия''' — семейство [[непрерывное отображение|непрерывных отображений]] <math>F_t\colon X\to Y,\; t\in [0,1]</math>, непрерывно зависящих от параметра, более точно — непрерывное отображение <math>F\colon[0,1]\times X\to Y</math>.
== Связанные определения ==
* Отображения <math>f,g\colon X\to Y</math> называются ''гомотопными'' (<math>g\sim f</math>), если существует гомотопия <math>f_t</math> такая, что <math>f_0=f</math> и <math>f_1=g</math>.▼
** Это задаёт [[отношение эквивалентности]] между непрерывными отображениями <math> X\to Y</math>.▼
* ''Гомотопическая эквивалентность'' топологических пространств <math>X</math> и <math>Y</math> — пара непрерывных отображений <math>f\colon X\to Y</math> и <math>g\colon Y\to X</math> такая, что <math>f\circ g\sim\operatorname{id}_Y</math> и <math>g\circ f\sim\operatorname{id}_X</math>, здесь <math>\sim</math> обозначает гомотопность отображений. В этом случае также говорят, что <math>X</math> с <math>Y</math> имеют один ''гомотопический тип''.▼
▲*Отображения <math>f,g\colon X\to Y</math> называются ''гомотопными'' (<math>g\sim f</math>), если существует гомотопия <math>f_t</math> такая, что <math>f_0=f</math> и <math>f_1=g</math>.
** Если <math>X</math> и <math>Y</math> [[гомеоморфизм|гомеоморфны]] (<math>X\simeq Y</math>), то они гомотопически эквивалентны; обратное в общем случае неверно.▼
▲**Это задаёт [[отношение эквивалентности]] между непрерывными отображениями <math> X\to Y</math>.
** ''Гомотопический инвариант''
* Если на некотором подмножестве <math>A\subset X,\; F(t,a)=f(a)</math> для всех <math>t</math> при <math>a\in A</math>, то <math>F</math> называется гомотопией относительно <math>A</math>, а <math>f</math> и <math>g</math> гомотопными относительно <math>A</math>.▼
▲*''Гомотопическая эквивалентность'' топологических пространств <math>X</math> и <math>Y</math> — пара непрерывных отображений <math>f\colon X\to Y</math> и <math>g\colon Y\to X</math> такая, что <math>f\circ g\sim\operatorname{id}_Y</math> и <math>g\circ f\sim\operatorname{id}_X</math>, здесь <math>\sim</math> обозначает гомотопность отображений. В этом случае также говорят, что <math>X</math> с <math>Y</math> имеют один ''гомотопический тип''.
▲**Если <math>X</math> и <math>Y</math> [[гомеоморфизм|гомеоморфны]] (<math>X\simeq Y</math>), то они гомотопически эквивалентны; обратное в общем случае неверно.
▲**''Гомотопический инвариант'' — характеристика пространства, которая сохраняется при гомотопической эквивалентности топологических пространств; то есть, если два пространства гомотопически эквиваленты, то они имеют одинаковую характеристику. Например: [[Связное пространство|связность]], [[фундаментальная группа]], [[эйлерова характеристика]].
* Отображение, гомотопное постоянному, то есть отображению в точку, называют ''стягиваемым'' или ''гомотопным нулю''.▼
▲*Если на некотором подмножестве <math>A\subset X,\; F(t,a)=f(a)</math> для всех <math>t</math> при <math>a\in A</math>, то <math>F</math> называется гомотопией относительно <math>A</math>, а <math>f</math> и <math>g</math> гомотопными относительно <math>A</math>.
== Вариации и обобщения ==▼
▲*Отображение, гомотопное постоянному, то есть отображению в точку, называют ''стягиваемым'' или ''гомотопным нулю''.
* [[Изотопия]] — гомотопия топологического пространства <math>X</math> по топологическому пространству <math>Y</math> <math> f_t\colon X\to Y,\; t\in[0,1]</math>, в которой при любом <math>t</math> отображение <math>f_t</math> является [[гомеоморфизм]]ом <math>X</math> на <math>f_t(X)\subset Y</math>.▼
* Отображение <math>f\colon X\to Y</math> называется ''слабой гомотопической эквивалентностью'', если оно индуцирует изоморфизм [[гомотопическая группа|гомотопических групп]]. Подпространство <math>A</math> топологического пространства <math>X</math> такое, что включение <math>A\subset X</math> является слабой гомотопической эквивалентностью, называется '''репрезентативным подпространством'''.▼
▲==Вариации и обобщения==
* Если <math>\varphi:E\to X</math> и <math>\varphi':E'\to X</math> есть произвольные расслоения над <math>X,</math> то гомотопия <math>f_{t}:E\to E'</math> называется послойной, если <math>\varphi'f_{t}=\varphi.</math> Морфизмы <math>f,g:E\to E'</math> послойно гомотопны, если существует послойная гомотопия <math>f_{t}:E\to E',</math> для которой выполняются равенства <math>f_{0}=f</math> и <math>f_{1}=g.</math> Морфизм <math>f:E\to E'</math>
▲*[[Изотопия]] — гомотопия топологического пространства <math>X</math> по топологическому пространству <math>Y</math> <math> f_t\colon X\to Y,\; t\in[0,1]</math>, в которой при любом <math>t</math> отображение <math>f_t</math> является [[гомеоморфизм]]ом <math>X</math> на <math>f_t(X)\subset Y</math>.
▲*Отображение <math>f\colon X\to Y</math> называется ''слабой гомотопической эквивалентностью'' если оно индуцирует изоморфизм [[гомотопическая группа|гомотопических групп]]. Подпространство <math>A</math> топологического пространства <math>X</math> такое, что включение <math>A\subset X</math> является слабой гомотопической эквивалентностью называется '''репрезентативным подпространством'''.
▲*Если <math>\varphi:E\to X</math> и <math>\varphi':E'\to X</math> есть произвольные расслоения над <math>X,</math> то гомотопия <math>f_{t}:E\to E'</math> называется послойной, если <math>\varphi'f_{t}=\varphi.</math> Морфизмы <math>f,g:E\to E'</math> послойно гомотопны, если существует послойная гомотопия <math>f_{t}:E\to E',</math> для которой выполняются равенства <math>f_{0}=f</math> и <math>f_{1}=g.</math> Морфизм <math>f:E\to E'</math> — послойная гомотопическая эквивалентность, если существует морфизм <math>g:E'\to E</math> такой, что <math>gf</math> и <math>fg</math> послойно гомотопны <math>\mathrm{Id}.</math> Расслоения <math>E</math> и <math>E'</math> принадлежат к одному и тому же послойному гомотопическому типу, если существует хотя бы одна послойная эквивалентность <math>f:E\to E'.</math>
== См. также ==
| |||