Группа вращений: различия между версиями

В [[классическая механика|механике]] и [[геометрия|геометрии]], '''группа вращения''' является набором всех [[Поворот|вращений]] вокруг начала координат в 3-мерном [[Евклидово пространство|Евклидовом пространстве]], <math>\R^3</math>. По определению, вращение вокруг начала координат — [[линейное преобразование]], которое сохраняет длину [[вектор|векторов]], а также сохраняет ориентацию (правую и левую тройку векторов). Группа вращений изоморфна группе [[Вещественное число|вещественных]] [[Ортогональная матрица|ортогональных матриц]] <math>3\times3</math> с [[Определитель|определителем]] 1 (называемой [[специальная ортогональная группа|специальной ортогональной группой]] размерности 3, '''SO(3)''').

* Группа SO(3) [[диффеоморфизм|диффеоморфна]] [[проективное пространство|проективному пространству]] размерности 3. По [[теорема вращения Эйлера|теореме вращения Эйлера]], любое вращение можно задать прямой (осью вращения, заданной единичным вектором <math>v</math>), проходящей через центр координат, и углом <math>\varphi \in [-\pi,\pi]</math>. Можно было бы сопоставить каждому вращению вектор <math>\varphi v</math> и тем самым отождествить элементы группы вращения с точками шара радиуса <math>\pi</math>. Однако, такое сопоставление не было бы биективным, так как углам <math>\pi</math> и <math>-\pi</math> соответствует одно и то же вращение. Поэтому, отождествив диаметрально противоположные точки на границе шара, получим [[проективное пространство]].