Цепной комплекс: различия между версиями
| [непроверенная версия] | [отпатрулированная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Grag (обсуждение | вклад) Нет описания правки |
Mousy (обсуждение | вклад) дополнение |
||
Строка 1:
'''Цепной комплекс''' это последовательность <math>(K_\bullet, \partial_\bullet)</math> [[модуль над кольцом|модулей]] и [[гомоморфизм]]ов <math>\partial_{n}:K_{n}\to K_{n-1}</math>, называемых ''граничными операторами'', такая что <math>\partial_{n}\partial_{n+1}=0</math>.
: <math>\ldots \xleftarrow{}K_{n-1}\xleftarrow{\partial_{n}}K_{n}\xleftarrow{\partial_{n+1}}K_{n+1}\xleftarrow{}\ldots </math>▼
▲<math>\ldots \xleftarrow{}K_{n-1}\xleftarrow{\partial_{n}}K_{n}\xleftarrow{\partial_{n+1}}K_{n+1}\xleftarrow{}\ldots </math>
Цепные комплексы модулей над фиксированным кольцом образуют [[Категория (математика)|категорию]] с мофизмами <math>~\varphi_{\bullet}\colon (K_\bullet, \partial^{K}_\bullet)\to (L_\bullet, \partial^{L}_\bullet)</math>, где <math>\varphi_{\bullet}</math> последовательность морфизмов <math>\varphi_{n}\colon K_n \to L_n</math>, такая что <math>\varphi_{n}</math> коммутирует с дифференциалом, то есть <math>\partial^{L}_{n}\varphi_{n}=\varphi_{n-1}\partial^{K}_{n}</math>.
== Коцепной комплекс ==
Коцепной комплекс — понятие, [[Двойственная категория|двойственное]] цепному комплексу. Он определяется как последовательность модулей <math>(\Omega_\bullet, d_\bullet)</math> и гомоморфизмов <math>d_n\colon \Omega_n \to \Omega_{n+1}</math>, таких что
: <math>d_{n+1} d_n = 0</math>
Коцепной комплекс является [[Полуточная последовательность|полуточной последовательностью]]
== Литература ==▼
: <math>\ldots \xrightarrow{} \Omega_{n-1} \xrightarrow{d_{n-1}} \Omega_{n} \xrightarrow{d_n} \Omega_{n+1} \xrightarrow{d_{n+1}} \ldots</math>
== Гомологии и когомологии ==
* Дольд А. Лекции по алгебраической топологии. — М.: Мир, 1976 ▼
{{main|Гомологии}}
{{main|Когомологии}}
n-мерная группа гомологий <math>H_n</math> цепного комплекса <math>(K_\bullet, \partial_\bullet)</math> является его мерой точности в n-ом члене и определяется как
: <math>H_n(K_\bullet, \partial_\bullet) = \ker \partial_n / \operatorname{Im}\, \partial_{n+1}</math>
Аналогично определяется n-мерная группа когомологий коцепного комплекса:
: <math>H^{*}_n(\Omega_\bullet, d_\bullet) = \ker d_n / \operatorname{Im}\, d_{n-1}</math>
▲== Литература ==
[[Категория:Алгебраическая топология]]
| |||