|
* <math>\lambda x=\varphi(\lambda\varphi^{-1}(x))\qquad\forall x\in X/X_0,\;\lambda\in\mathbb{F}.</math>
Факторотображение на таком пространстве линейно.
Свойства факторотображения:
# <math>\varphi\in\mathcal{L}(X,\;X/X_0);</math>
# <math>\mathrm{Imim}\, {\varphi} = X/X_0</math>, то есть <math>\varphi</math> - — [[эпиморфизм]];
# <math>\ker {\varphi} = X_0</math>, что эквивалентно <math>{\varphi}^{-1}(0) = X_0</math>.
== Связанные определения ==
ПонятияПонятие факторпространства по подпространству позволяет определить:
* Кообразкообраз линейного отображения <math>T \in\mathcal{L}(X,\;Y): \colon\mathrm{coim}\, T} = X/{\ker}\, T</math>;
* Koядрокoядро линейного отображения <math>T \in\mathcal{L}(X,\;Y): \colon\mathrm{coker}\, T} = X/{\mathrm{Im}im}\, T</math>, при условии что <math>{\mathrm{Im}im}\, T \in \mathrm{Lat}(Y)</math>.
* Коразмерностькоразмерность <math>X_0 \in \mathrm{Lat}(X): \colon\mathrm{codim}\, X_0} = \dim X/X_0</math>;
* Фактор-полунорма в факторпространстве, порожденнаяпорождённая [полунорма|полунормой] p: <math>p\colon\forall w \in X/X_0 \quad p_{X/X_0}(w)=\inf{ p({\varphi}^{-1}(w))}</math>.
*
== Сопутствующие теоремы ==
* Существование снижения на кообраз:
: <math>\forall T \in \mathcal{L}(X,\;Y) \,\nexists \exists{!}T_c \in \mathcal{L}(\mathrm{coim}\, T},\;Y):\colon T = {T_c}{\varphi}, \;\ker T = \{0\} .</math>
* Теоремы об [[изоморфизм|изоморфизмах]]ах:
: <math>\mathrm{coim}\, T} \simeq \mathrm{Imim}\, T,\quad\mathrm{coker}\,T\simeq\ker T.</math>
* Теорема о непрерывности факторотображения: ▼\mathrm{coker\, T} \simeq \ker T</math>
: <math>\varphi\in\mathcal{B}(X,\;X/X_0).</math>
▲* Теорема о непрерывности факторотображения:
:* <math>\varphi \in \mathcal^{B-1}(X,\;ker p_{X/X_0})=\mathrm{cl}\,X_0.</math>
* <math>{\varphi}^{-1}(X/X_0,\ker{;p_{X/X_0}})</math> — [[Хаусдорфово пространство|хаусдорфово]] <math>\Leftrightarrow X_0=\mathrm{cl}\,X_0</math>.
: Хаусдорфовость полунормированного пространства, как известно, позволяет определить на немнём [[ Норма_вектораНорма вектора|норму]], а по норме и метрику. ▼* <math>(X/X_0,\; p_{X/X_0})</math> - [[Хаусдорфово пространство|хаусдорфово]] <math>\Leftrightarrow X_0 = \mathrm{cl} X_0</math>
* Признак полноты <math>X\colon X_0,\;X/X_0</math> — полны <math>\Rightarrow X</math> — полно.
▲:Хаусдорфовость полунормированного пространства, как известно, позволяет определить на нем [[Норма_вектора|норму]], а по норме и метрику.
* Признак полноты X: <math>X_0,\,X/X_0</math> — - полны[[гиперплоскость]] <math>\RightarrowLeftrightarrow X\mathrm{codim}\,X_0=1</math> - полно.
* Неравенства для подчиненнойподчинённой фактор-полунормы: ▼* <math>X_0\,</math> - [[гиперплоскость]] <math>\Leftrightarrow \mathrm{codim}X_0=1</math>
: <math>\forall w \in X/X_0, \;\forall {\varepsilon}>0 \, \exists x \in {\varphi }^{-1}(w ): p(x)\ leq{(1+{\varepsilon});p_{X/X_0}(w) }\leqslant p(x);</math> ▼▲* Неравенства для подчиненной фактор-полунормы:
: <math>\forall w \in X/X_0,\;\forall\varepsilon>0\;\exists x \in {\varphi}^{-1}(w)\quadcolon p(x)\leqslant(1+\varepsilon)p_{X/X_0}(w)\leq{p(x)}.</math>
▲:<math>\forall w \in X/X_0,\forall {\varepsilon}>0 \, \exists x \in {\varphi}^{-1}(w): p(x)\leq{(1+{\varepsilon})p_{X/X_0}(w)}</math>
== Комментарии ==
* [[Векторное пространство]]
* [[Коразмерность]]
* [[Непрерывное отображение]]
* [[Непрерывное_отображение]]
* [[Непрерывное отображение]]
* [[Непрерывное_отображение]]
* [[Замкнутое множество]]
* [[Замкнутое_множество]]
* [[Ядро_Ядро (алгебра)|Ядро линейного отображения]]
* [[Функция_Функция (математика)|Образ отображения]]
== Литература ==
* {{книга|автор=Кутателадзе С. С. |заглавие=Основы функционального анализа,|издание=3-е 2000изд|место=Новосибирск|издательство=Изд-во Ин-та математики|год=200|страниц=336|isbn=5-86134-074-9}}.
[[Категория:Теория множеств]]
| 