Евклидово кольцо: различия между версиями

: <math>d_S(x) = \min\{d_R(u):\,(u,s)\in R\times S, \, x=u/s\}</math>, где <math>d_R</math> — евклидова норма в ''R'', а <math>d_S</math> — норма в ''S^-1R''.

: Деление с остатком определяется так. Пусть есть две ненулевые дроби <math>x=r/t</math> и <math>y</math> из ''S^-1R''. По определению нормы в ''S^-1R'' существует элементы ''u'' в ''R'' и ''s'' в ''S'', такие что <math>y=u/s</math> и <math>d_S(y) = d_R(u) </math>. Произведём деление с остатком в кольце ''R'' элементов ''rs'' и ''u'':<br /> ''rs = uq + r''', так что <math>d_R(r')<d_R(u)</math>. Тогда <math>r/t = (u/s)(q/t) + r'/ts</math>. Из построения следуют неравенства <math>d_S(r'/ts)\le d_R(r')< d_R(u) = d_S(y)</math>.

* Евклидовыми являются кольца рациональных функций над полем '''C''' с фиксированными полюсами, так как такие кольца являются кольцами частных кольца многочленов '''C'''[''x''].