Википедия

Евклидово кольцо: различия между версиями

Интерактивная навигация по истории
[отпатрулированная версия][отпатрулированная версия]
← Предыдущая правкаСледующая правка →
Содержимое удалено Содержимое добавлено
ВизуальныйВики-текст
м робот изменил: pl:Dziedzina Euklidesa; косметические изменения
м робот: оформление, ссылки
Строка 21:
* Кольцо функций ''H(K)'', [[голоморфная функция|голоморфных]] на связном [[компакт]]е ''K'' в '''C''' (каждая из них должна быть голоморфна в какой-нибудь окрестности этого компакта; две такие функции считаются равными в ''H(K)'', если они совпадают в некоторой окрестности ''K''), тоже евклидово. За норму ненулевой функции принимается число нулей (с учётом кратности), которые она принимает на ''K''.
* Счётное пересечение евклидовых колец (подколец в каком-нибудь кольце) не обязано быть евклидовым кольцом (и даже [[нётерово кольцо|нётеровым]] или [[факториальное кольцо|факториальным]]). Например, кольцо функций ''H(D)'', голоморфных в открытом круге ''D'', является пересечением евклидовых колец функций ''H(K)'', голоморфных на замкнутых кругах ''K'', содержащихся внутри ''D'' (см. предыдущий пример), однако оно ни нётерово, ни факториально, соответственно, и неевклидово.
* [[Кольцо частных]] ''S<sup>-1−1</sup>R'' евклидова кольца ''R'' по мультипликативной системе ''S'' тоже является евклидовым. Нормой дроби ''x'' из ''S<sup>-1−1</sup>R'' принимается
: <math>d_S(x) = \min\{d_R(u):\,(u,s)\in R\times S, \, x=u/s\}</math>, где <math>d_R</math> — евклидова норма в ''R'', а <math>d_S</math> — норма в ''S<sup>-1−1</sup>R''.
: Деление с остатком определяется так. Пусть есть две ненулевые дроби <math>x=r/t</math> и <math>y</math> из ''S<sup>-1−1</sup>R''. По определению нормы в ''S<sup>-1−1</sup>R'' существует элементы ''u'' в ''R'' и ''s'' в ''S'', такие что <math>y=u/s</math> и <math>d_S(y) = d_R(u) </math>. Произведём деление с остатком в кольце ''R'' элементов ''rs'' и ''u'':<br /> ''rs = uq + r''', так что <math>d_R(r')<d_R(u)</math>. Тогда <math>r/t = (u/s)(q/t) + r'/ts</math>. Из построения следуют неравенства <math>d_S(r'/ts)\le d_R(r')< d_R(u) = d_S(y)</math>.
* Евклидовым является кольцо конечных [[десятичная дробь|десятичных дробей]], так как оно является кольцом частных кольца [[целое число|целых чисел]] <math>\mathbb{Z}</math>.
* Евклидовыми являются кольца рациональных функций над полем '''C''' с фиксированными полюсами, так как такие кольца являются кольцами частных кольца многочленов '''C'''[''x''].
Источник — https://ru.wikipedia.org/wiki/Евклидово_кольцо