Теорема Кэли (теория групп): различия между версиями
| [отпатрулированная версия] | [непроверенная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Maxal (обсуждение | вклад) оформление |
Alexsmail (обсуждение | вклад) Перевод с http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%9E%D7%A9%D7%A4%D7%98_%D7%A7%D7%99%D7%99%D7%9C%D7%99#.D7.93.D7.95.D7.92.D7.9E.D7.94 |
||
Строка 1:
В [[теория групп|теории групп]] '''теорема Кэли''' утверждает, что любая [[группа (математика)|группа]] <math>(G,\circ)</math> является [[подгруппа|подгруппой]] [[Симметрическая группа|группы перестановок]] множества элементов этой группы. При этом каждый элемент <math>a \in G</math> сопоставляется с перестановкой <math>\pi_a</math>, задаваемой тождеством <math>\pi_a(g)=a \circ g,</math> где ''g'' — произвольный элемент группы ''G''.
== Пример ==
Рассмотрим группу <math>\ G= \mathbb{Z}_4</math>. Найдём её отображение в <math>\ S_4</math>, т.е. найдём подгруппу <math>\ S_4</math> изоморфную <math>\ G</math>.
Определим отображение <math>\ \varphi :\mathbb{Z}_4\rightarrow S_4</math>
<math> \varphi(0)=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \end{bmatrix} </math>
<math> \varphi(1)=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 & 0 \end{bmatrix} </math>
<math> \varphi(2)=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 0 & 1 \end{bmatrix} </math>
<math> \varphi(3)=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & 0 & 1 & 2 \end{bmatrix} </math>
Построение это не случайное. Для примера рассмотрим <math> \varphi(1)</math>. Как мы знаем куда перейдёт, скажем, число 2? Очень просто это сумма (операция группы <math>\ G= \mathbb{Z}_4</math>) 2 (самого этого числа) и 1 (элемента группы для которого мы определяем перестановку). Таким образом, к примеру, <math> \varphi(0)</math> задаёт [[тождественное отображение]] <math>\mathrm{id}_G(g) = g</math>. В самом деле, по вышеприведённом правилу сложения, для того чтобы определить куда переходить элемент g, нужно сделать операцию <math>g+0</math>, т.е. получим <math>g+0=g</math>, т.е. нижняя строчка перестановки идентична верхней.
Если посмотреть внимательней на это построение мы увидим следующую картину. Перестановка <math> \varphi(0)</math> задаёт по сути "таблицу сложения" с числом 0. Перестановка <math> \varphi(1)</math> задаёт по сути "таблицу сложения" с числом 1. <math> \varphi(2)</math> задаёт по сути "таблицу сложения" с числом 2. <math> \varphi(3)</math> задаёт по сути "таблицу сложения" с числом 3. Таким образом мы получили полную таблицу сложения группы <math>\ \mathbb{Z}_4</math>.
Обратите внимание, отображение <math>\ \varphi</math> является [[гомоморфизм]]ом. К примеру, <math>\ \varphi(1)^2=\varphi(2)=\varphi(1+1)</math>.
[[de:Satz von Cayley]]
| |||