Дифференциальная геометрия кривых: различия между версиями
| [отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Строка 115:
== [[Кривизна]] ==
При движении вдоль кривой её касательная меняет направление. Скорость этого вращения (отношение угла поворота касательной за бесконечно малый промежуток времени к этому промежутку) при равномерном, с единичной скоростью, движении вдоль кривой называется ''[[кривизна кривой|кривизной]]'' кривой. Производная же по времени положительного единичного вектора касательной называется в этом случае ''вектором кривизны кривой''. То и другое - функции точки кривой. Кривизна есть абсолютная величина вектора кривизны.
В случае произвольного параметрического задания кривой<ref>Т.е. при движении вдоль кривой вообще говоря не с постоянной скоростью.</ref> кривизна кривой в трехмерном пространстве определяется по формуле
: <math>k_1 = \frac{\left| [\mathbf{r}'(t),\ \mathbf{r}'' (t)] \right|}{\left| \mathbf{r}' (t) \right|^3}</math>,
где <math>\mathbf{r}(t)</math> — вектор-функция с координатами <math>x(t),\ y(t),\ z(t)</math>.
Строка 123:
В координатах:
: <math>k_1=\frac{\sqrt{(z''y'-y''z')^2+(x''z'-z''x')^2+(y''x'-x''y')^2}}{(x'^2+y'^2+z'^2)^{3/2}}</math>
Для кривой в более многомерном пространстве можно заменить [[векторное произведение]], обозначенное здесь квадратными скобками, на [[внешнее произведение|внешнее]].
Также для кривой в любой размерности пространства можно воспользоваться формулой вектора кривизны:
: <math>\mathbf k = \frac{d\mathbf \tau}{dl} </math>
и фактом, что кривизна есть его модуль, а также выражением для единичного вектора касательной
: <math>\mathbf \tau = \frac{d\mathbf r}{dl} = \frac{r'}{|r'|} </math>
и
: <math> dl = |\mathbf r'| dt, </math>
и получить для кривизны формулу:
: <math> k = \left|\frac{1}{|\mathbf r'|} \left(\frac{\mathbf r'}{|\mathbf r'|}\right)'\right|,</math>
или, раскрыв скобки:
: <math> k = \frac{\mathbf r''}{(\mathbf r')^2} - \mathbf r' \frac{(\mathbf r'',\mathbf r')}{(\mathbf r')^4}.</math>
Прямые и только прямые имеют всюду равную нулю кривизну. Поэтому кривизна наглядно показывает, насколько (в данной точке) кривая отличается от прямой линии: чем ближе кривизна к нулю, тем это отличие меньше. Кривизна окружности радиуса <math>R</math> равна <math>1/R</math>.
| |||