Нормированное пространство: различия между версиями
| [непроверенная версия] | [непроверенная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Tosha (обсуждение | вклад) |
Abyr (обсуждение | вклад) м ссылки |
||
Строка 15:
== Топологическая структура ==
Для любого полунормированного векторного пространства мы можем задать ''расстояние'' между двумя векторами <math>\mathbf{u}</math> и <math>\mathbf{v}</math> как <math>\left\Vert\mathbf{u}-\mathbf{v}\right\Vert</math>. Такое полунормированное пространство с определённым таким образом расстоянием называется [[полунормированное метрическое пространство|полунормированным метрическим пространством]], в котором мы можем определить такие понятия как [[непрерывность]] и [[сходимость]]. Более абстрактно, любое полунормированное векторное пространство является [[топологическое
Особый интерес представляют [[полное пространство|полные]] нормированные пространства, называемые [[банахово пространство|банаховыми пространствами]]. Любое нормированное векторное пространство <math>V</math> находится как плотное подпространство внутри банахова пространства, а это банахово пространство однозначно определяется пространством <math>V</math> и называется [[пополнение пространства|пополнением]] пространства <math>V</math>.
Строка 26:
: <math>x+N:=\left\{ x + n \bar n \in N\right\}</math>.
Более того, существует [[базис окрестностей]] для <math>0</math>, состоящий из [[поглощающее множество|поглощающих]] и [[выпуклое множество|выпуклых множеств]]. Так как это свойство очень полезно в [[функциональный анализ|функциональном анализе]], обобщения нормированных векторных пространств с этим свойством изучаются как [[локально-выпуклое пространство|локально-выпуклые пространства]].
== Линейные отображения и двойственные пространства ==
Наиболее важными отображениями между двумя нормированными векторными пространствами являются [[
Норма - это непрерывная функция в своём векторном пространстве. Все линейные отображения между конечномерными векторными пространствами также непрерывны.
Строка 40:
== Нормированные пространства как фактор-пространства полунормированных пространств ==
Определения многих нормированных пространств (например, [[банахово пространство|банахова пространства]]) включают в себя полунорму, определённую в векторном пространстве, а затем нормированное пространство определяется как [[
: <math>\left\Vert f \right\Vert_p = \left(\int\left\vert f\left(x\right)\right\vert^p\; dx\right)^{\frac{1}{p}}</math>,
является полунормой в векторном пространстве всех функций, [[интеграл Лебега]] от которых (справа) определён и конечен.
Однако полунорма равна нулю для всех функций, носитель которых имеет нулевую[[мера Лебега|меру Лебега]].
Эти функции образуют подпространство, которое мы
== Конечные произведения пространств ==
| |||